шишкина_семинар 4

Задача 4 Условие Тонкостенный цилиндр с воздухом закрыт снизу поршнем массой $m = 1\ кг$, который может без трения перемещаться в цилиндре. Цилиндр плавает в вертикальном положении в воде при температуре $T = 293\ К$ (см. рис.). Когда цилиндр опустили при постоянной температуре на глубину $h = 1\ м$ (от поверхности воды до его верхней крышки), он потерял плавучесть. Какое количество воздуха было в цилиндре? Атмосферное давление равно $p_0 = 10^5\ Па$, масса цилиндра и воздуха в цилиндре гораздо меньше массы поршня. Решение Поскольку цилиндр лёгкий, а трения между ним и поршнем нет, то при плавании воздух в цилиндре находится под атмосферным давлением $p_0$. Обозначим объём воздуха в цилиндре при плавании через $V$. Тогда, согласно уравнению Менделеева-Клапейрона, $p_0 V = \vartheta R T$, где $\vartheta$ – искомое количество воздуха. Неизвестный объём $V$ воздуха при атмосферном давлении можно найти из следующих соображений. Сила Архимеда, действующая на цилиндр с поршнем при его плавании и в момент потери плавучести, одна и та же и равна весу поршня: $\rho g V_1 = mg$, где $\rho$ – плотность воды, а $V_1$ – объем вытесненной воды, который равен объему воздуха в цилиндре в момент, когда цилиндр потерял плавучесть. Процесс изотермический, поэтому $p_0 V = p_1 V_1$. Давление $p_1$ в цилиндре можно найти как сумму атмосферного давления и давления столба жидкости высотой $h$, т.е.: $p_1 = p_0 + \rho g h$. Учтем, что $V_1 = m/\rho$, подставим все в уравнение Менделеева-Клапейрона: $$p_0 V = (p_0 + \rho g h) \frac{m}{\rho} = \vartheta R T,$$ отсюда выразим количество вещества: $$\vartheta = \frac{m(p_0 + \rho g h)}{\rho R T} = \frac{1\ кг \cdot (10^5\ Па + 10^3\ кг/м^3 \cdot 10\ м/с^2 \cdot 1\ м)}{10^3\ кг/м^3 \cdot 8,31\ Дж/(моль\cdotК) \cdot 293\ К} = 0,045\ моль.$$ Задача 5 Условие Компрессор каждую секунду забирает атмосферный воздух объемом $Q$ и подает его в вертикально стоящий цилиндр, закрытый подвижным поршнем сечением $S$ и массой $m$. Определите скорость, с которой будет подниматься поршень, если при движении он испытывает силу трения $F$. Атмосферное давление $p_0$, ускорение свободного падения $g$. Решение Скорость поршня постоянная, и сумма действующих на него сил равна нулю: $$pS - p_0 S - mg - F = 0,$$ где $p$ – давление воздуха под поршнем. Объем воздуха под поршнем за время $t$ увеличивается на $V = Sut$. Этот объем связан с объемом поступившего в компрессор воздуха законом Бойля-Мариотта $pSut = p_0Qt$. Тогда: $$u = \frac{Q p_0}{p_0 S + F + mg}.$$ Задача 6 Условие Компрессор нагнетает воздух в резервуар емкостью $50\ л$, захватывая при каждом качании объем воздуха $2\ л$. Первоначально давление в резервуаре равно атмосферному. Какое давление установится в резервуаре после 100 качаний компрессора? Считайте, что температура воздуха при сжатии не изменяется. Решение Фактически речь идет об изотермическом сжатии порции воздуха, которая при атмосферном давлении занимала объем $V + N\Delta V$, до объема $V$. Согласно закону Бойля-Мариотта $pV = p_a (V + N\Delta V)$. Отсюда $$p = p_a \left(1 + \frac{N\Delta V}{V}\right).$$ С каждым качанием компрессора давление возрастает на одну и ту же величину $p_a \frac{\Delta V}{V}$. Рассчитаем конечное давление: $$p = 10^5 \left(1 + \frac{100 \cdot 2\ л}{50\ л}\right) = 5 \cdot 10^5\ Па = 0,5\ МПа.$$ Задача 7 Условие Поршневым воздушным насосом объемом $\Delta V = 2\ л$ откачивают воздух из баллона объемом $V = 50\ л$. Каково давление в сосуде после $N = 100$ качаний насоса, если начальное давление равно атмосферному? После 200 качаний? После 1000 качаний? Температуру можно считать неизменной. Решение Обозначим давление в сосуде перед $k$-м качанием $p_{k-1}$. Очередное качание вызывает изотермическое расширение воздуха от объема $V$ до объема $V+\Delta V$. Поэтому $$p_{k-1} V = p_k (V + \Delta V), \implies p_k = p_{k-1} \frac{V}{V + \Delta V}.$$ Итак, при откачке газа постоянной величиной является отношение давлений до и после каждого качания. Значения давления образуют геометрическую прогрессию, потому что количество захватываемого насосом воздуха с каждым качанием уменьшается. После $N$ качаний давление будет: $$p = p_a \left(\frac{V}{V + \Delta V}\right)^N.$$ После 100 качаний: $$p_{100} = 10^5 \left(\frac{50\ л}{50\ л + 2\ л}\right)^{100} = 1980\ Па.$$ После 200 качаний: $$p_{200} = 10^5 \left(\frac{50\ л}{50\ л + 2\ л}\right)^{200} = 39,2\ Па.$$ После 1000 качаний: $$p_{1000} = 10^5 \left(\frac{50\ л}{50\ л + 2\ л}\right)^{1000} \approx 9,3 \cdot 10^{-13}\ Па.$$