Механизмы теплопередачи и тепловое излучение.: Часть 1

1. Механизмы передачи тепла

Сегодня продолжим изучение механизмов передачи тепловой энергии, не связанных с совершением механической работы силами.

Ранее рассмотрен механизм теплопроводности: энергия передаётся при взаимодействии частиц среды без её макроскопического переноса. Сами частицы при этом участвуют в тепловом движении.

Следующий важный механизм — передача тепла посредством электромагнитного излучения. Примером служит нагрев тела вблизи костра или получение Землей солнечного света. Важнейшая особенность излучения заключается в том, что энергия передается даже сквозь вакуум.

Также существует процесс конвекции — перенос энергии потоками жидкости или газа. Естественная конвекция возникает в поле тяжести из-за различия плотностей нагретых и холодных областей. Вынужденную конвекцию создают внешние устройства, например вентиляторы или насосы.

Отдельно выделяем механизм испарения и последующей конденсации веществ. Вода испаряется в одном месте, переносит тепловую энергию, а затем конденсируется в другом месте, высвобождая накопленную энергию обратно в окружающую среду.

При плавлении вещество поглощает теплоту, а при кристаллизации выделяет её. Перемещение вещества между местами фазовых переходов также может участвовать в переносе энергии; примером служат природные процессы с водой и льдом.

Задача о замораживании озера

Рассмотрим задачу, включающую несколько процессов теплопередачи. Вода в озере предварительно охладилась до 0\,^{\circ}\mathrm{C} . Затем установился постоянный мороз: температура воздуха T<0\,^{\circ}\mathrm{C} . Дует ветер, и в модели считаем температуру верхней поверхности льда равной температуре воздуха. За первые сутки образовался слой льда толщиной 3 см. Необходимо определить:

Температуру воздуха T, при которой образовалась данная толщина льда?

Сколько суток потребуется ждать дополнительно, пока толщина льда достигнет заданных в условии 10 см?

На границе воды и льда фазовый переход происходит при T_0=0\,^{\circ}\mathrm{C} . При замерзании каждого килограмма воды выделяется удельная теплота кристаллизации, по величине равная удельной теплоте плавления:

L = 0.33\text{МДж/кг} = 0.33*10^{6}\text{Дж/кг}

Удельная теплоёмкость льда c_{\text{л}}=2{,}1\cdot10^3\,\text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К}) примерно вдвое меньше теплоёмкости жидкой воды. Коэффициент теплопроводности льда \alpha=2{,}2\,\text{Вт}/(\text{м}\cdot\text{К}) связывает тепловой поток с градиентом температуры. Плотность льда обозначаем отдельно: \rho_{\text{л}}=900\,\text{кг}/\text{м}^3 .

Предположим, что поверхность воды покрылась слоем льда толщиной h, а за небольшой промежуток времени Δtэтот слой увеличился на величину ΔH. Площадь поверхности рассмотрим постоянной величиной, например, S = 1\,\text{м}^{2} .

Схема роста слоя льда: вода снизу имеет температуру 0 °C, теплота уходит через лёд в холодный воздух.

Тогда объём образовавшегося льда за данное время составит:

\Delta V_{\text{л}} = \Delta H*S ,(увеличение объёма)

Масса образованного льда определяется произведением увеличения объёма на плотность льда ( \rho_{\text{л}} ​):

m_{\text{л}} = \Delta V_{\text{л}}*\rho_{\text{л}} = \Delta H*S*\rho_{\text{л}}

Количество теплоты, выделившейся при образовании данной массы льда, выражается формулой:

Q = m_{\text{л}}*L = \Delta H*S*\rho_{\text{л}}*L

Эта теплота передаётся через ранее сформированный слой льда площадью S и толщиной h наружу, где её уносит холодный воздух. Поток передаваемого тепла пропорционален градиенту температуры и площади поверхности:

Считаем теплопередачу через лёд квазистационарной: температурный профиль по толщине линейный. Охлаждением самого льда, тепловым сопротивлением воздуха и другими потерями в этой модели пренебрегаем. Величина Q>0 означает теплоту, отведённую от замерзающей воды; поэтому используем положительную разность \Delta T=T_0-T>0 .

\frac{Q}{\Delta t}=\alpha S\frac{T_0-T}{h}=\alpha S\frac{\Delta T}{h}

Здесь T_{0} = 0^{\circ}\text{C} — температура границы льда и воды. Упростим уравнение, сократив одинаковую площадь:

\Delta H\,\rho_{\text{л}}L=\alpha\frac{\Delta T}{h}\Delta t

Перегруппируем выражение, учитывая, что интересующая нас зависимость включает толщину льда и прошедшее время:

h\,\Delta H\,\rho_{\text{л}}L=\alpha\Delta T\,\Delta t

Переходим к бесконечно малым приращениям толщины и времени. Начало отсчёта выбираем в момент образования льда: при t=0 толщина h=0 . Интегрируем уравнение от начала замерзания до момента t :

\rho_{\text{л}}L\int_0^h \xi\,d\xi=\alpha\Delta T\int_0^t d\tau

Интегрирование даёт простую зависимость:

\frac{\rho_{\text{л}}Lh^2}{2}=\alpha\Delta T\,t

Отсюда выразим искомую температуру воздуха:

T=T_0-\frac{\rho_{\text{л}}Lh^2}{2\alpha t}

Подставляя численные значения:

Толщина h=3 см=0.03 м

Плотность льда \rho_{\text{л}} = 900\,\text{кг}/\text{м}^{3}

Теплота плавления L = 0{,}33\cdot10^6\,\text{Дж/кг}

Коэффициент теплопроводности α=2.2 Вт/(м⋅K)

Прошедшее время Δt=1 сутки=24×60×60 сек,

получаем:

T = - \frac{(0.03)^{2}*900*0.33*10^{6}}{2*2.2*86400} \approx - {0.7}^{\circ}\text{C}

Таким образом, средняя температура воздуха составляла - {0.7}^{\circ}\text{C}

Теперь определим дополнительное время достижения заданной толщины 10 см. При постоянной разности температур h\propto\sqrt{t} , то есть время пропорционально квадрату толщины. Чем толще лёд, тем медленнее он нарастает, поскольку увеличивается сопротивление теплопроводности:

\frac{t_{\text{общ}}}{t_{\text{нач}}} = \left( \frac{H_{\text{общ}}}{H_{\text{нач}}} \right)^{2}

Общее требуемое время:

t_{\text{общ}}=1\,\text{сут}\cdot\left(\frac{10}{3}\right)^2\approx11{,}1\,\text{сут}

Итак, вывод:

Средняя температура воздуха была около - {0.7}^{\circ}\text{C} .

Чтобы достичь толщины 10 см, после первых суток понадобится ещё около 10,1 суток при тех же условиях. Общее время с начала замерзания — около 11,1 суток.

Полученный результат относится к идеализированной модели роста льда. Толщина 10 см здесь является условием задачи; расчёт не определяет реальную несущую способность ледового покрытия.

2. Механизм испарения и конденсации

Продолжим обсуждение различных способов передачи тепловой энергии, сосредоточившись на механизме, связанном с процессом испарения и конденсации жидкостей.

Постановка задачи

Два одинаковых сосуда с толстыми медными стенками и внутренними рёбрами первоначально содержали по 100 кг воды. При открытых кранах воду долго кипятили, пока в каждом сосуде не осталось по 30 кг. Поток пара вытеснил воздух и другие газы, поэтому над водой можно рассматривать водяной пар без примеси воздуха.

Два термостатированных сосуда: 0 и 100 °C. На схеме отмечены первоначальные 100 кг и оставшиеся после кипячения 30 кг воды; площадь сечения трубки — 1 см².

Затем краны закрываются, и сосуды помещаются в различные термостаты:

Первый сосуд: Термостат поддерживает температуру 0∘C.

Второй сосуд: Термостат поддерживает температуру 100 ∘C.

Эти условия обеспечивают значительное различие в давлении насыщенного пара:

При 0 ∘C давление пара примерно 600 Па.

При 100 °C давление насыщенного пара составляет около 10^5\,\text{Па} .

Сосуды соединены короткой трубкой площадью поперечного сечения A=1\,\text{см}^2=10^{-4}\,\text{м}^2 с закрытым краном. После открытия крана пар движется из горячего сосуда в холодный и конденсируется там. Испарение в горячем сосуде восполняет уходящий пар, пока остаётся жидкая вода.

Вопросы задачи:

Определить время, за которое все 30 кг воды из горячего сосуда перейдут в холодный через испарение и конденсацию. В итоге в холодном сосуде окажется около 60 кг воды.

Рассчитать необходимую мощность нагревателя, поддерживающего температуру 100∘C во втором сосуде, компенсируя потери тепла при испарении.

Решение

Для грубой оценки скорости используем уравнение Бернулли, пренебрегая потерями в короткой трубке и изменением плотности пара:

\frac{v^{2}}{2} + \frac{P}{\rho} = \text{const}

Здесь:

v — скорость потока пара,

P — давление,

ρ — плотность пара.

Внутри широкого сосуда скорость пара мала по сравнению со скоростью в узкой трубке. Разгон происходит за счёт перепада давлений P_1-P_2 . В принятом приближении:

v = \sqrt{\frac{2\left( P_{1} - P_{2} \right)}{\rho}}

Применим численные значения:

P_{1} = 10^{5}\text{Па} (давление насыщенного пара при 100∘C),

P_{2} = 600\text{Па} (давление насыщенного пара при 0∘C),

ρ=0.6 \text{кг}/\text{м}^{3} (плотность водяного пара при 100∘C).

Вычислим скорость пара:

v=\sqrt{\frac{2(10^5-600)}{0{,}6}}\approx5{,}8\cdot10^2\,\text{м/с}

Это оценка по упрощённой модели: при столь большом перепаде давлений сжимаемость пара существенна. Точный расход требует модели сжимаемого потока. Для дальнейшей оценки порядка величины примем v\approx550\,\text{м/с} .

Площадь поперечного сечения трубы A = 1\text{ см}^{2} = 10^{- 4}\text{ м}^{2} . Тогда массовый расход пара:

За время \Delta t через сечение трубки проходит объём пара, равный объёму цилиндра длиной v\Delta t и площадью основания A : \Delta V=Av\Delta t . Масса этого пара \Delta m=\rho Av\Delta t , поэтому массовый расход равен:

Масса пара, прошедшего через сечение за время Δt, равна массе цилиндра длиной vΔt.

\dot m=\frac{\Delta m}{\Delta t}=\rho vA=0{,}6\cdot550\cdot10^{-4}=0{,}033\,\text{кг/с}

Время, за которое произойдёт полная миграция остатков воды (30 кг):

t=\frac{M}{\dot m}=\frac{30}{0{,}033}\approx9{,}1\cdot10^2\,\text{с}\approx15\,\text{мин}

Энергия, необходимая для испарения 30кг воды при 100∘С, рассчитывается исходя из теплоты испарения:

L=2{,}3\,\text{МДж/кг}=2{,}3\cdot10^6\,\text{Дж/кг}

Общий энергетический баланс:

Q=ML=30\cdot2{,}3\cdot10^6=69\cdot10^6\,\text{Дж}

Средняя мощность нагревателя:

Нагреватель компенсирует теплоту испарения: P=L\dot m . Холодный термостат должен непрерывно отводить теплоту конденсации и охлаждения поступающего вещества, иначе температура и давление в холодном сосуде начнут расти.

P=\frac{Q}{t}\approx\frac{69\cdot10^6}{900}\approx77\,\text{кВт}