Тепловые двигатели (цикл Карно). Связь микро- и макромира. Циклы.: Часть 1

Задача 1

Условие

В российских северных широтах длительность суток составляет 6 часов. Физик-экспериментатор является любителем рыбалки и чтения детективов и решил совместить развлечения. Поэтому чтобы видеть поплавки и читать одновременно он использует фонарик с мощностью потребления 5~Вт . Чтобы фонарик проработал как можно дольше, физик взял тепловой двигатель, в котором используется в качестве нагревателя теплота воды реки, а в качестве холодильника - термопакет с льдом с температурой 0^\circ\mathrm{C} . Тепловой двигатель работает до тех пор, пока лед полностью не растает от теплоты окружающей среды с мощностью 10 Вт . Сколько кг льда нужно на закате, чтобы до самого рассвета можно было заниматься одновременно рыбалкой и чтением?

Решение

Лед при плавлении сохраняет постоянную температуру. Для идеального двигателя Карно абсолютные температуры нагревателя и холодильника определяют наибольший КПД:

T_{h} = 293\, K,\quad T_{c} = 273\, K,\quad\quad\eta_{C} = 1 - \frac{T_{c}}{T_{h}} = \frac{20}{293}

Полезная мощность фонарика меньше мощности, отбираемой у воды. Ко льду поступает разность этих мощностей, а также отдельный теплоприток от воздуха:

P_{h} = \frac{P_{0}}{\eta_{C}},\quad\quad P_{c} = P_{0}\left( \frac{1}{\eta_{C}} - 1 \right),\quad\quad P_{ice} = P_{c} + P_{leak} = 78.25\, W

Умножим полную мощность нагревания льда на продолжительность ночи и разделим на удельную теплоту плавления:

m = \frac{P_{ice}\tau}{\lambda} = \frac{78.25 \cdot 6 \cdot 3600}{0.34 \cdot 10^{6}} \approx 4.97\, kg

Принимаем, что вся полезная работа двигателя доступна фонарику. При меньшем КПД и той же мощности фонарика ко льду поступало бы больше теплоты.

Ответ

Нужно примерно m=4.97\,\text{кг}\approx5\,\text{кг} льда. Это результат для идеального двигателя и заданного постоянного теплопритока.

Задача 2

Условие

Летом температура снаружи +40~^\circ\mathrm{C} , а зимой -20~^\circ\mathrm{C} . Комфортной температурой в помещении считается 20~^\circ\mathrm{C} . Чтобы поддерживать комфортные условия в помещениях, решили воспользоваться кондиционером с мощностью потребления 5~кВт в летнее время и 10~кВт в зимнее время. Какова эффективность полученной полезной мощности кондиционера в режиме холодильника и нагревателя?

Решение

Летом полезным результатом считается теплота, отобранная у холодной комнаты. Электрическая работа обеспечивает перенос теплоты к более горячей внешней среде. Холодильный коэффициент равен:

\varepsilon_{cool} = \frac{Q_{c}}{A} = \frac{T_{c}}{T_{h} - T_{c}} = \frac{293}{20} \approx 14.65

Зимой полезна теплота, переданная горячей комнате. Она складывается из теплоты, отобранной у холодного наружного воздуха, и электрической работы. Поэтому отопительный коэффициент равен:

\varepsilon_{heat} = \frac{Q_{h}}{A} = \frac{T_{h}}{T_{h} - T_{c}} = \frac{293}{40} \approx 7.33

Коэффициент эффективности может превышать единицу: машина переносит энергию между телами. Для электрической мощности делим полезный тепловой поток на соответствующий коэффициент:

P_{el,summer} = \frac{5}{293/20} \approx 0.341\, kW,\quad\quad P_{el,winter} = \frac{10}{293/40} \approx 1.365\, kW

Ответ

Летом \varepsilon_{cool}=14.65 и P_{el}\approx0.341\,\text{кВт} ; зимой \varepsilon_{heat}\approx7.33 и P_{el}\approx1.365\,\text{кВт} . Значения относятся к идеальной обратимой машине.