Тепловые двигатели (цикл Карно). Связь микро- и макромира. Циклы.: Часть 3

Задача 6

Условие

В сосуде, который может менять свои размеры и температуру, находится смесь из двух газов общей массой 1~кг . В начале цикла смесь нагрели при V=const и было сообщено количество теплоты Q_1=5{,}54~кДж с изменением на 1~К . Для следующего процесса при p=const потребовалось Q_2=8{,}31~кДж с изменением на 1~К . Затем смесь вернули в исходное состояние так, чтобы изменение было линейным. Суммарная работа за цикл равна 7~Дж . Какой состав смесь? Какова максимальная температура в цикле?

Решение

Сначала найдем общее количество вещества. Разность молярных теплоемкостей идеальной смеси при постоянных давлении и объеме равна газовой постоянной. При одинаковом повышении температуры разность сообщенных теплот не зависит от неизвестной теплоемкости:

Q_{V} = nC_{V}\Delta T,\quad\quad Q_{p} = n(C_{V} + R)\Delta T,\quad\quad n = \frac{Q_{p} - Q_{V}}{R\Delta T} \approx 333\, mol

По массе смеси получаем среднюю молярную массу; из первого нагревания — ее молярную теплоемкость:

\overline{M} = \frac{m}{n} = 3 \cdot 10^{- 3}\, kg/mol,\quad\quad C_{V} = \frac{Q_{V}}{n\Delta T} = 2R

Теплоемкость 2R соответствует равным молярным долям одноатомного и двухатомного газов с теплоемкостями 3R/2 и 5R/2 . Средняя молярная масса 3\,\text{г}/\text{моль} согласуется с водородом и гелием при одинаковом числе молей. Массовые доли различаются:

x_{H_{2}} = x_{He} = \frac{1}{2},\quad\quad m_{H_{2}} = \frac{1}{3}\, kg,\quad\quad m_{He} = \frac{2}{3}\, kg

Теперь найдем максимальную температуру. Работа за цикл равна площади треугольника. Приращение давления на изохоре определяется объемом первой вершины, а приращение объема на изобаре — давлением второй вершины:

\Delta p = \frac{nR\delta}{V_{1}},\quad\quad\Delta V = \frac{nR\delta}{p_{2}},\quad\quad p_{2}V_{1} = nRT_{2}

Произведение этого давления и объема соответствует второй вершине. Подстановка в площадь треугольника дает:

A_{cycle} = \frac{\Delta p\Delta V}{2} = \frac{nR\delta^{2}}{2T_{2}},\quad\quad T_{2} = \frac{2770}{14}\, K \approx 197.9\, K

Третья вершина на один кельвин горячее второй. На прямом обратном участке давление и объем одновременно уменьшаются, значит, температура тоже уменьшается. Максимум достигается в третьей вершине:

T_{\max} = T_{3} = T_{2} + 1\, K \approx 198.9\, K

Ответ

Смесь — \mathrm{H_2} и \mathrm{He} поровну по числу молей: массовые доли 1/3 и 2/3 . Максимальная температура T_{max}\approx198.9\,\text{К} . Состав установлен в модели одноатомного и двухатомного идеальных газов с указанными теплоемкостями.

Задача 7

Условие

Известно, что плотность энергии теплового излучения пропорциональна \alpha T^4 , а суммарная энергия E=VU . Давление такого излучения, оказываемое на стенки сосуда, P=\frac{1}{3}U . Цикл, который был проведен - представлен на рисунке. Найдите коэффициент полезного действия этого процесса? Если для данного цикла имеются максимальная и минимальная температуры , какой КПД цикла Карно при данных температурах?

Решение

u = \alpha T^{4},\quad\quad p = \frac{u}{3},\quad\quad U = uV = 3pV

Полная энергия излучения зависит и от давления, и от объема. Работа за цикл равна площади прямоугольника:

1 = (V,p),\quad 2 = (V,2p),\quad 3 = (2V,2p),\quad 4 = (2V,p),\quad\quad A = pV

Теплота поступает на участках от первой вершины ко второй и от второй к третьей. Сложим совершенную на этом пути работу и приращение полной внутренней энергии:

Q_{+} = A_{1 \rightarrow 2 \rightarrow 3} + U_{3} - U_{1} = 2pV + 12pV - 3pV = 11pV,\quad\quad\eta = \frac{1}{11} \approx 0.091

Температура излучения определяется давлением. При удвоении давления температура увеличивается в корень четвертой степени из двух раз. На обеих верхних вершинах температура максимальна, на нижних — минимальна. Поэтому:

\frac{T_{\max}}{T_{\min}} = 2^{1/4},\quad\quad\eta_{C} = 1 - 2^{- 1/4} \approx 0.159

Ответ

КПД прямоугольного цикла \eta=1/11\approx9.1\% . КПД Карно между теми же крайними температурами \eta_C=1-2^{-1/4}\approx15.9\% .