Термодинамика в космосе. Газопровод.: Часть 1

Задача 1

Условие

На расстоянии земной орбиты от Солнца, примерно 150\cdot10^6\,\text{км} , солнечный поток на площадку площадью 1\,\text{м}^{2} , перпендикулярную лучам, принимается равным 1370\,\text{Вт}/\text{м}^{2} . Астероид имеет форму длинного железного цилиндра; его ось перпендикулярна плоскости круговой орбиты. Длина \ell много больше радиуса r , поэтому излучением торцов пренебрегают. Поверхность абсолютно чёрная. Быстрое вращение в принятой модели обеспечивает одинаковую среднюю температуру боковой поверхности. Требуется найти установившуюся температуру.

Решение

Поток солнечной энергии перехватывает прямоугольная проекция цилиндра, а излучает вся его боковая поверхность. Площади отличаются в \pi раз:

S_{погл} = 2r\ell,\quad\quad S_{изл} = 2\pi r\ell,\quad\quad E = 1370\ \text{Вт/м}^{2}

В установившемся состоянии поглощаемая и излучаемая мощности равны. Используем закон Стефана — Больцмана для чёрной поверхности; размеры цилиндра сокращаются:

E\, 2r\ell = \sigma T^{4}\, 2\pi r\ell,\quad\quad T = \left( \frac{E}{\pi\sigma} \right)^{1/4} \approx 296\ \text{К} \approx 300\ \text{К}

Здесь \sigma=5{,}67\cdot10^{-8}\,\text{Вт}/(\text{м}^2\mathrm K^4) . Температура не зависит от размеров при принятом отношении длины к радиусу.

Ответ

T\approx296\,\mathrm K , или округлённо 300\,\mathrm K , в радиационном равновесии.

Задача 2

Условие

Цилиндр состоит из льда, отражает 75\,\% падающего света и находится вдвое ближе к Солнцу. В качестве размеров названы радиус 1\,\text{м} и длина порядка 100\,\text{м} . Он также вращается. При уменьшении расстояния вдвое плотность солнечного потока возрастает вчетверо; поглощаемая доля составляет только четверть. Поэтому поглощаемая мощность на единицу площади проекции остаётся такой же, как у чёрного цилиндра на земной орбите.

Учитывая уход вещества с поверхности, составьте энергетический баланс и определите, какие выводы о температуре можно сделать без дополнительного закона сублимации. Для лучистого потока используйте ту же модель чёрного теплового излучения.

Решение

На вдвое меньшем расстоянии солнечный поток увеличивается вчетверо, но поглощается только четверть падающей энергии:

E' = 4E,\quad\quad(1 - 0,75)E' = E,\quad\quad p_{нас} = nkT

Часть поглощаемой мощности расходуется на уход вещества. Обозначим энергетическую цену единицы ушедшей массы через L_{\mathrm{фаз}} , массовую скорость убыли через \dot m .

P_{погл} = P_{изл} + L_{фаз}\,\dot{m}

Для длинного цилиндра баланс можно записать на единицу боковой поверхности:

j=\frac{\dot m}{2\pi r\ell},\qquad \frac{E}{\pi}=\sigma T^4+L_{\mathrm{фаз}}j.

Молекула, сталкивающаяся с коллективом примерно N\approx10 связанных соседей, может отразиться или передать энергию и прилипнуть. Для оценки потока нужно знать коэффициент прилипания и температурную зависимость давления насыщенного пара. Значение p_{\mathrm{нас}}(273\,\mathrm K)\approx610\,\text{Па} само по себе не определяет этот поток. Положительная потеря массы уменьшает температуру по сравнению с чисто лучистым равновесием.

Ответ

\frac{E}{\pi}=\sigma T^4+L_{\mathrm{фаз}}j . При j>0 температура ниже (E/(\pi\sigma))^{1/4}\approx296\,\mathrm K . Численное значение температуры, в частности 273\,\mathrm K , без зависимости j(T) не определяется.

Задача 3

Условие

В кубическом сосуде с жёсткими теплоизолированными и нетеплоёмкими стенками находится разреженный кислород при 10\,\mathrm{K} . Для определённости названы ребро куба 1\,\text{м} и количество вещества 1\,\text{моль} . Сосуд движется со скоростью 1{,}5\,\text{км}/\text{с} , ударяется о стенку и мгновенно останавливается. Газ по инерции продолжает двигаться; после столкновений со стенками и между молекулами устанавливается тепловое равновесие. Требуется оценить конечную температуру.

Решение

После остановки сосуда энергия поступательного движения газа сохраняется при отражениях от неподвижных упругих стенок и перераспределяется между внутренними степенями свободы. Один моль кислорода имеет массу 0{,}032\,\text{кг} , поэтому запас энергии движения составляет 36\,\text{кДж} .

\frac{1}{2}mv^{2} + U(T_{0}) = U(T_{f}),\quad\quad\nu\int_{T_{0}}^{T_{f}}C_{V}(T)\, dT = \frac{1}{2}mv^{2}

При постоянной теплоёмкости интеграл заменяется произведением. Две грубые оценки получаются с C_V=5R/2 и C_V=7R/2 :

C_{V} = const:\quad T_{f} - T_{0} = \frac{\mu v^{2}}{2C_{V}};\quad\quad\frac{\mu v^{2}}{5R} \approx 1730\ \text{К},\quad\frac{\mu v^{2}}{7R} \approx 1240\ \text{К}

Высокая температура возбуждает колебательные степени свободы, поэтому приближение 5R/2 завышает нагрев. Табличные значения C_V/R равны 2,52;2,63;2,86;3,2;3,4 при температурах соответственно 250;400;600;1000;1500 К. Они показывают постепенный рост теплоёмкости. Подстановка конечной теплоёмкости вместо интеграла по всему интервалу не даёт точного ответа.

Ответ

Конечная температура определяется уравнением \int_{10\,\mathrm K}^{T_f}C_V(T)\,dT=36\,\text{кДж/моль} . Оценки с постоянными теплоёмкостями: около 1730\,\mathrm K и 1240\,\mathrm K соответственно; уточнённое значение требует функции C_V(T) . Оценки 1730 и 1240 К приведены при пренебрежении малой начальной температурой 10 К.