Изопроцессы.

Задача 1

Условие

Идеальный газ постоянного состава с фиксированным количеством вещества \nu совершает квазистатический процесс. Его молярная теплоёмкость C постоянна. Молярные теплоёмкости C_V и C_P также постоянны в рассматриваемой области температур и связаны соотношением Майера C_P-C_V=R . Все температуры абсолютные и положительные.

Выведите связи между p , V и T , получите уравнение политропы и выражение для её показателя. Рассмотрите изобару, изохору и адиабату, а также предел изотермы. Теплоёмкость C относится к одному молю; теплоёмкость всего газа равна \nu C .

Решение

Количество вещества \nu равно отношению массы m к молярной массе M . Если газ накачивают в сосуд или откачивают из него, постоянный объём ещё не означает постоянного количества вещества. При изменении молекулярного состава также нельзя автоматически пользоваться формулами для неизменного числа молей.

Дальнейший вывод относится к идеальному газу постоянного состава с фиксированным количеством вещества. Между p , V и T действует уравнение Менделеева — Клапейрона. Температура в формулах выражается в кельвинах. Внутренняя энергия зависит от температуры и числа активных степеней свободы молекул.

\nu = \frac{m}{M},\quad\quad\rho = \frac{m}{V},\quad\quad pV = \nu RT

Основные связи между параметрами. Молярная масса M и количество вещества \nu — разные величины.

В используемом приближении у одноатомного газа C_V=\frac{3R}{2} , у двухатомного с активными вращательными и без активных колебательных степеней свободы C_V=\frac{5R}{2} . Эти значения относятся к выбранной температурной области; при изменении состава или набора активных степеней свободы их нужно пересматривать.

U = \nu C_{V}T,\quad\quad dU = \nu C_{V}\, dT

Тепловая часть внутренней энергии и её изменение при постоянных \nu и C_V ; начало отсчёта энергии выбрано в рамках модели.

Теплоёмкость процесса описывает отношение сообщённого газу малого количества теплоты к изменению его температуры. Важно различать теплоёмкость всего газа и молярную теплоёмкость: первая равна \nu C , где C относится к одному молю и зависит от пути процесса.

Политропическим здесь называется процесс с постоянной молярной теплоёмкостью C . Эта величина не обязана совпадать с C_V или C_P и может быть отрицательной: газ способен получать теплоту и одновременно охлаждаться, если совершаемая им работа превышает полученную теплоту.

Для вывода нужны две связи: уравнение состояния идеального газа и соотношение Майера. C_V и C_P считаются постоянными в рассматриваемой области температур. В отличие от них, C задаёт выбранный путь изменения состояния.

\delta Q = \nu C\, dT,\quad\quad C = const

C_{P} - C_{V} = R

Положительной считаем работу, совершаемую газом над окружающими телами. Для малого квазистатического изменения объёма она равна p dV. При расширении dV положительно; при сжатии — отрицательно. Такое выражение использует равновесное давление газа и предполагает достаточно медленный процесс.

По первому закону полученная теплота идёт на изменение внутренней энергии и работу. Подставим определение C и выражение для изменения внутренней энергии. Затем выразим давление через температуру и объём с помощью уравнения состояния.

\delta Q = dU + \delta A,\quad\quad\delta A = p\, dV

\nu C\, dT = \nu C_{V}\, dT + p\, dV

После сокращения постоянного количества вещества разделим обе части на RT. Температурные величины окажутся с одной стороны, объём — с другой. Полученное дифференциальное уравнение является исходной связью для политропы; интегрировать его можно потому, что C, C_V и R постоянны.

(C - C_{V})\, dT = RT\frac{dV}{V},\quad\quad\frac{C - C_{V}}{R}\frac{dT}{T} = \frac{dV}{V}

Выразили давление через уравнение состояния и сократили постоянное количество вещества. Теперь проинтегрируем между начальным состоянием (T_0,V_0) и текущим (T,V) . Аргументы логарифмов записываем как отношения одноимённых величин, чтобы они были безразмерными.

\frac{C - C_{V}}{R}\ln\frac{T}{T_{0}} = \ln\frac{V}{V_{0}}

После потенцирования получаем зависимость объёма от температуры.

\left( \frac{T}{T_{0}} \right)^{(C - C_{V})/R} = \frac{V}{V_{0}}

Для C=C_V исходное дифференциальное уравнение сразу даёт dV=0 . Изохору рассматриваем отдельно: формула показателя политропы содержит деление на C_V-C . При C\ne C_V исключим температуру с помощью уравнения состояния и получим уравнение в координатах давления и объёма.

pV^{n} = const,\quad\quad n = \frac{C_{P} - C}{C_{V} - C},\quad\quad C \neq C_{V}

Чтобы связать давление с температурой, подставим V=\nu RT/p в найденную степенную зависимость. Эта связь относится к конечной постоянной теплоёмкости процесса; изотерму рассматриваем как предел.

\frac{p}{p_{0}} = \left( \frac{T}{T_{0}} \right)^{(C_{P} - C)/R}

При C=0 теплота не поступает. Газ совершает работу за счёт внутренней энергии и при расширении охлаждается. Показатель политропы становится показателем адиабаты. Из уравнения состояния также следует температурно-объёмная форма адиабаты.

\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}},\quad\quad pV^{\gamma} = const,\quad\quad TV^{\gamma - 1} = const

Полученные законы требуют постоянных теплоёмкостей и квазистатического движения. Одного отсутствия теплообмена в произвольном быстром процессе недостаточно для применения равновесной адиабаты. Показатель n характеризует путь процесса, а не число атомов в молекуле.

Ответ

pV^n=\mathrm{const},\qquad n=\frac{C_P-C}{C_V-C},\qquad C\ne C_V

\frac{V}{V_0}=\left(\frac{T}{T_0}\right)^{(C-C_V)/R},\qquad \frac{p}{p_0}=\left(\frac{T}{T_0}\right)^{(C_P-C)/R}

При C=C_P получаем n=0 и p=\mathrm{const} — изобару. При C=C_V сохраняется V — изохора; формула для конечного n неприменима. При C=0 получаем n=\gamma=C_P/C_V и законы адиабаты.

Изотерма соответствует пределу |C|\to\infty , n\to1 и pV=\mathrm{const} . При строго постоянной температуре отношение \delta Q/dT не задаёт конечную теплоёмкость.