шишкина_семинар 9: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1

Условие

(Росатом, 2021). В вертикальном цилиндрическом сосуде под массивным подвижным поршнем находится идеальный газ. Чтобы уменьшить объем газа в 3 раза, на поршень надо положить груз массой m . Какой еще груз надо положить на поршень, чтобы уменьшить объем газа еще в 2 раза? Температура газа поддерживается постоянной.

Решение

Пусть первоначальное давление газа в сосуде равно p . Это давление создается силой тяжести поршня и атмосферным давлением внешнего воздуха. Закон Менделеева-Клапейрона для газа в начальном состоянии дает: pV = \nu RT \implies p = \frac{\nu RT}{V}, где V – первоначальный объем газа, \nu – количество вещества газа в сосуде, T – температура газа в сосуде. Когда на поршень положили дополнительный груз массой m , он стал создавать дополнительное давление \frac{mg}{S} , где S – площадь сечения сосуда. Поэтому закон Менделеева-Клапейрона для газа в сосуде после того как на поршень положили груз массой m запишется следующим образом: p + \frac{mg}{S} = n \frac{\nu RT}{V}, \eqno{(1)} здесь учтено, что объем газа уменьшился в n = 3 раза. Вычитая полученные выражения друг из друга, получим: \frac{mg}{S} = (n - 1) \frac{\nu RT}{V} \implies \frac{\nu RT}{V} = \frac{mg}{S(n - 1)}. \eqno{(2)} Положим на поршень еще один груз массой m_1 , чтобы объем газа уменьшился еще в k = 2 раза. Тогда закон Менделеева-Клапейрона будет выглядеть так: p + \frac{mg}{S} + \frac{m_1g}{S} = kn \frac{\nu RT}{V}. Из полученного выражения вычтем выражение (1), получим: \frac{m_1g}{S} = kn \frac{\nu RT}{V} - n \frac{\nu RT}{V} = (k - 1)n \frac{\nu RT}{V}. Используя теперь формулу (2), получаем окончательно: m_1 = \frac{n(k - 1)m}{n - 1} = \frac{3m}{2}.

Задача 2

Условие

(ВсОШ, 2007). Одно колено высокой симметричной U-образной трубки, имеющей площадь поперечного сечения S , открыто в атмосферу, а второе – наглухо закрыто. Трубка заполнена жидкостью плотностью \rho , причем в открытом колене уровень жидкости доходит до краев, а в закрытом – на h ниже из-за оставшегося под крышкой воздуха (см. рисунок). Трубку нагревают от начальной комнатной температуры T_1 до температуры T_2 кипения жидкости при атмосферном давлении p_0 . Найдите объем \Delta V жидкости, вылившейся из открытого колена к моменту закипания, если известно, что уровень жидкости в закрытом колене остался выше горизонтального участка трубы. Испарением жидкости из открытого колена в процессе нагревания и давлением насыщенных паров жидкости при комнатной температуре можно пренебречь.

task2_image Решение

Пусть H – разность уровней жидкости в коленах в момент закипания, тогда давления газа в закрытом колене в начальном и конечном состояниях имеют соответственно вид: p_1 = p_0 + \rho gh, \quad p_2 = p_0 + \rho gH. С другой стороны, давление газа в закрытом колене равно сумме парциальных давлений воздуха p_v и насыщенных паров жидкости p_n : p_1 = p_{v1} + p_{n1} \approx p_{v1}, \quad p_2 = p_{v2} + p_{n2} \approx p_{v2} + p_0. Каждое из парциальных давлений растет с ростом температуры, что и приводит к выталкиванию жидкости из открытого колена. Из уравнения Менделеева-Клапейрона для воздуха в закрытом колене: \frac{p_{v1} \cdot Sh}{T_1} = \frac{p_{v2} \cdot SH}{T_2}, отсюда находим: p_{v2} = p_{v1} \cdot \frac{T_2 h}{H T_1} \approx \frac{T_2 h}{H T_1}(p_0 + \rho gh). Тогда: p_0 + \rho gH = \frac{T_2 h}{H T_1}(p_0 + \rho gh) + p_0, что позволяет найти H : H = h \frac{T_2}{T_1} \left( \frac{p_0}{\rho gh} + 1 \right). Теперь несложно определить объем вытесненной жидкости: \Delta V = S(H - h) = Sh \left( \frac{T_2}{T_1} \left( \frac{p_0}{\rho gh} + 1 \right) - 1 \right).