Теплопередача. Термодинамика газа. Изопроцессы.: Часть 1

Задача 1

Условие

Для отопления школьного здания вода поступает при 60\,{}^\circ\mathrm{C} и возвращается при 40\,{}^\circ\mathrm{C} . Площадь сечения трубы равна 100\,\text{см}^{2} . В установившемся режиме здание теряет тепловую мощность 1\,\text{МВт} . Требуется найти среднюю скорость воды. Принимаются плотность воды 1000\,\text{кг}/\text{м}^{3} и удельная теплоёмкость 4200\,\text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К}) . Потерями тепла в трубах вне рассматриваемого здания пренебрегают.

Решение

За время \Delta t через трубу проходит объём Sv\Delta t и масса \rho Sv\Delta t . При охлаждении на \Delta T=20\,\mathrm K эта вода отдаёт зданию теплоту. Разделив тепловой баланс на время, получаем связь мощности с массовым расходом.

\dot{m} = \rho Sv,\quad\quad P = \dot{m}c(T_{вх} - T_{вых})

Переведём площадь в квадратные метры: 100\,\text{см}^2=10^{-2}\,\text{м}^2 . Выразим скорость из баланса мощности и подставим данные.

v = \frac{P}{\rho Sc\Delta T} = \frac{10^{6}}{10^{3} \cdot 10^{- 2} \cdot 4200 \cdot 20} \approx 1,19\ \text{м/с}

Проверка: массовый расход около 11{,}9\,\text{кг/с} при охлаждении на 20 К переносит требуемую мощность.

Ответ

v\approx1{,}19\,\text{м/с} .

Задача 2

Условие

В школе поддерживается температура 27\,{}^\circ\mathrm{C} , или приблизительно 300\,\mathrm{K} , а снаружи -3\,{}^\circ\mathrm{C} , или 270\,\mathrm{K} . Открыты нижняя дверь и верхнее окно; разность высот отверстий равна 15\,\text{м} . Площади обоих отверстий принимаются одинаковыми, по 1\,\text{м}^{2} . Атмосферное давление около 100\,\text{кПа} . Нужно оценить дополнительную мощность отопления, необходимую из-за возникающего движения воздуха.

Решение

Примем плотности холодного и тёплого воздуха \rho_{\mathrm х}\approx1{,}3\,\text{кг/м}^3 и \rho_{\mathrm т}\approx1{,}2\,\text{кг/м}^3 . Более плотный наружный столб создаёт больший гидростатический перепад: воздух входит снизу и выходит сверху.

Обозначим наружные и внутренние давления сверху через p_1,p_2 , снизу через p_3,p_4 . Разности давлений по высоте равны:

p_{3} - p_{1} = \rho_{х}gh,\quad\quad p_{4} - p_{2} = \rho_{т}gh

На каждом отверстии перепад давления разгоняет поток. В кинетических членах возьмём среднюю плотность \rho\approx1{,}25\,\text{кг/м}^3 и примерно одинаковые скорости. Сложение двух уравнений Бернулли даёт:

p_{2} - p_{1} \approx \frac{\rho v^{2}}{2},\quad\quad p_{3} - p_{4} \approx \frac{\rho v^{2}}{2},\quad\quad v \approx \sqrt{gh\frac{\rho_{х} - \rho_{т}}{\rho}}

Получаем v\approx3{,}5\,\text{м/с} . Для грубой оценки округлим массовый расход до \dot m\approx4\,\text{кг/с} . Нагревание воздуха на 30\,\mathrm K происходит почти при постоянном давлении; для двухатомного газа нужна молярная теплоёмкость C_p=7R/2 , молярная масса воздуха \mu=0{,}029\,\text{кг/моль} .

P_{доп} = \frac{\dot{m}}{\mu}C_{p}\Delta T,\quad\quad C_{p} = \frac{7}{2}R,\quad\quad P_{доп} \approx 1,2 \cdot 10^{5}\ \text{Вт}

Сопротивлением проходов и отверстий пренебрегаем; точность результата ограничена округлением плотностей и расхода.

Ответ

Дополнительная мощность порядка 0{,}12\,\text{МВт} , около 12\,\% от исходного мегаватта, при принятом грубом округлении расхода.

Задача 3

Условие

В сосуде находится 1\,\text{кг} воды при 1\,{}^\circ\mathrm{C} . Медную проволоку массой 640\,\text{г} , то есть около 10\,\text{моль} , нагрели и при температуре 700\,{}^\circ\mathrm{C} опускают в воду. Давление окружающей среды составляет 100\,\text{кПа} . Требуется определить конечную общую температуру и массу оставшейся воды. Даны теплоёмкость воды 4200\,\text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К}) и удельная теплота парообразования 2{,}2\,\text{МДж}/\text{кг} .

Примите двухэтапную модель: до охлаждения меди до 100\,{}^\circ\mathrm C вся отданная ею теплота нагревает и испаряет контактирующую порцию воды, а остальная вода сохраняет 1\,{}^\circ\mathrm C . Затем оставшаяся вода и медь выравнивают температуры без дальнейшей потери массы.

Решение

Оценим молярную теплоёмкость меди как 3R . Тогда теплоёмкость всей проволоки равна:

C_{Cu} \approx 3\nu_{Cu}R \approx 250\ \text{Дж/К}

При охлаждении меди от 700 до 100 °C выделяется около 150 кДж. Испарившаяся вода сначала нагревается от 1 до 100 °C, затем получает теплоту парообразования. Поэтому её массу находим из баланса:

\Delta m\,\lbrack c_{в}(100 - 1) + L\rbrack = C_{Cu}(700 - 100),\quad\quad\Delta m \approx 0,057\ \text{кг}

После ухода пара остаётся около 943 г воды. На втором этапе тепло, отданное медью при охлаждении от 100 °C до общей температуры, получает только эта оставшаяся вода:

m_{ост} = m_{0} - \Delta m,\quad\quad T_{f} = \frac{m_{ост}c_{в} \cdot 1 + C_{Cu} \cdot 100}{m_{ост}c_{в} + C_{Cu}} \approx 6,88\,^{\circ}C

Здесь в балансе использованы температуры в градусах Цельсия; их разности совпадают с разностями в кельвинах. Значительная часть энергии меди ушла с паром.

Ответ

\Delta m\approx57\,\text{г},\quad m_{\mathrm{ост}}\approx943\,\text{г},\quad T_f\approx6{,}9\,{}^\circ\mathrm C в принятой двухэтапной модели.