Теплопередача. Термодинамика газа. Изопроцессы.: Часть 2

Задача 4

Условие

В жёстком теплоизолированном сосуде находится 4\,\text{моль} атомарного водорода при 4\,\mathrm{K} и давлении 4\,\text{кПа} . Стенки не имеют теплоёмкости. Затем 4\,\% первоначальных атомов объединяются попарно в молекулы \mathrm{H}_{2} . При образовании одной молекулы выделяется энергия 4\,\text{эВ} . Нужно определить установившуюся температуру смеси.

Для приближённой оценки примите C_{V,H}=3R/2 и C_{V,H_2}=5R/2 . Учитывайте, что теплоёмкость молекулярного водорода зависит от температуры.

Решение

В образовании молекул участвует 4 % атомов, но число получившихся молекул вдвое меньше числа объединившихся атомов:

\nu_{H} = 0,96 \cdot 4 = 3,84\ \text{моль},\quad\quad\nu_{H_{2}} = \frac{0,04 \cdot 4}{2} = 0,08\ \text{моль}

Каждый акт объединения выделяет 4 эВ. Умножим эту энергию на число образовавшихся молекул:

Q = \nu_{H_{2}}N_{A}\varepsilon,\quad\quad\varepsilon = 4 \cdot 1,6 \cdot 10^{- 19}\ \text{Дж},\quad\quad Q \approx 30,72\ \text{кДж}

Сосуд жёсткий и теплоизолированный, поэтому работы расширения нет и выделенная энергия увеличивает внутреннюю энергию смеси. В выбранном приближении:

\left( \frac{3}{2}\nu_{H}R + \frac{5}{2}\nu_{H_{2}}R \right)T_{f} \approx Q,\quad\quad U_{0} = \frac{3}{2}\nu_{0}RT_{0} \approx 200\ \text{Дж}

Начальная энергия около 200 Дж много меньше 30,72 кДж. Без неё получается около 620 К; округление выделенной энергии до 31 кДж даёт около 626 К. Температурные отметки схемы — 80,700,2000,3000\,\mathrm K — показывают изменение теплоёмкости и не обосновывают её постоянство во всём интервале нагревания.

Ответ

T_f\approx620\text{–}626\,\mathrm K — приближённая оценка при заданных постоянных теплоёмкостях. Для уточнения необходим энергетический баланс с температурной зависимостью теплоёмкости.

Задача 5

Условие

Жёсткий теплоизолированный сосуд разделён подвижной нетеплопроводной перегородкой на два одинаковых отсека объёмом V_0 . В каждом находится аргон при одинаковых p_0 и T_0 . Трением и теплоёмкостью стенок и перегородки пренебрегают. Нагреватель передаёт газу слева количество теплоты Q . Требуется найти отношение конечного левого объёма к правому после установления равновесия.

Рассмотрите квазистатическое движение перегородки: правый аргон сжимается обратимо и адиабатически.

Решение

В конечном равновесии давления одинаковы, а суммарный объём равен 2V_0 . Для одноатомного газа U=3pV/2 . Работы передачи энергии через перегородку в балансах двух отсеков равны по модулю и противоположны по знаку. Сложение балансов исключает их:

3p_{0}V_{0} + Q = \frac{3}{2}p(V_{л} + V_{п}) = 3pV_{0},\quad\quad p = p_{0} + \frac{Q}{3V_{0}}

Правый газ не получает теплоты. При квазистатическом адиабатическом сжатии \gamma=5/3 , поэтому уравнение Пуассона даёт правый объём:

p_{0}V_{0}^{5/3} = pV_{п}^{5/3},\quad\quad a = \left( \frac{p_{0}}{p_{0} + Q/(3V_{0})} \right)^{3/5}

Обозначив отношение правого объёма к начальному через a , найдём левый объём из сохранения общего объёма:

V_{п} = aV_{0},\quad V_{л} = (2 - a)V_{0},\quad\frac{V_{л}}{V_{п}} = \frac{2 - a}{a}

При положительном количестве теплоты a<1 и левый отсек становится больше правого; при Q=0 отношение равно единице.

Ответ

\frac{V_{\mathrm л}}{V_{\mathrm п}}=2\left(1+\frac{Q}{3p_0V_0}\right)^{3/5}-1 при принятом квазистатическом сжатии.

Задача 6

Условие

Сферический сосуд Дьюара внутреннего радиуса 10\,\text{см} заполнен водой при 100\,{}^\circ\mathrm{C} . Снаружи поддерживается температура 20\,{}^\circ\mathrm{C} . Между близкими двойными стенками вакуум; отражение стенок принимается равным 95\,\% . Требуется оценить время остывания воды на 5\,\mathrm{K} . В задаче рассматривается только лучистый теплообмен через стенки; вклад горловины и других каналов не рассчитывается.

В модели лучистого обмена примите эффективный коэффициент \varepsilon_{\mathrm{эфф}}=0{,}05 , плотность воды 10^3\,\text{кг/м}^3 и теплоёмкость 4200\,\text{Дж}/(\text{кг}\cdot\mathrm K) . Остальными потерями и теплоёмкостью стенок пренебрегите.

Решение

Вакуум подавляет перенос тепла газом между стенками. Остаётся лучистый поток от горячей стенки к холодной. В четвёртые степени входят абсолютные температуры 373 и 293 К.

P_{луч} = \varepsilon_{эфф}\sigma S(T_{гор}^{4} - T_{хол}^{4}),\quad\quad\varepsilon_{эфф} = 0,05

\sigma = 5,67 \cdot 10^{- 8}\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}^{2}\text{К}^{4}},\quad\quad V = \frac{4}{3}\pi R^{3},\quad\quad S = 4\pi R^{2}

При остывании всего на 5 К оценим мощность по начальной температуре и будем считать её постоянной. Отданная энергия P_{\mathrm{луч}}\Delta t равна \rho cV\Delta T . Для сферы V/S=R/3 , поэтому:

\Delta t \approx \frac{\rho cV\Delta T}{P_{луч}} = \frac{\rho cR\Delta T}{3\varepsilon_{эфф}\sigma(373^{4} - 293^{4})} \approx 5,7\ \text{ч}

Ответ

\Delta t\approx5{,}7\,\text{ч} в модели постоянной мощности с \varepsilon_{\mathrm{эфф}}=0{,}05 .