шишкина_семинар 2: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1

Условие

Каково давление углекислого газа, если в баллоне объемом V = 40 л содержится N = 5\cdot 10^{24} молекул, а средняя квадратичная скорость молекул v = 400 м/с?

Решение

Давление идеального газа пропорционально произведению концентрации молекул газа и квадрата средней квадратичной скорости их теплового движения: p = \frac{1}{3} n m_0 v^2. Масса одной молекулы: m_0 = \mu/N_A , где \mu = 44 г/моль, N_A = 6,02\cdot 10^{23}~моль^{-1} . Концентрацию газа найдем, зная число молекул и объем сосуда: n = N/V . Тогда: p = \frac{\mu N}{3 N_A V} v^2 = \frac{44\cdot 10^{-3}~кг/моль \cdot 5\cdot 10^{24}}{3\cdot 6,02\cdot 10^{23}~моль^{-1} \cdot 40\cdot 10^{-3}~м^3} (400~м/с)^2 = 487\,265~Па.

Задача 2

Условие

Каково давление газа, если его плотность равна 2~кг/м^3 , а средняя квадратичная скорость его молекул 600~м/с ?

Решение

Давление можно определить по формуле: p = \frac{1}{3} n m_0 v^2. Масса одной молекулы: m_0 = m/N , концентрация газа: n = N/V . p = \frac{1}{3} \frac{m}{N} \frac{N}{V} v^2 = \frac{1}{3} \rho v^2 = \frac{1}{3} \cdot 2~кг/м^3 \cdot (600~м/с)^2 = 240\,000~Па = 240~кПа.

Задача 3

Условие

В баллон объемом 20 л, находящийся на весах, накачали газ. Какова средняя квадратичная скорость молекул газа, если манометр показал 4,9 МПа, а показания весов увеличились на 1 кг?

Решение

Давление можно определить по формуле: p = \frac{1}{3} n m_0 v^2. Давление в баллоне – это манометрическое давление плюс атмосферное давление: p = p_м + p_a . Атмосферное давление будем считать нормальным: p_a = 100\,000 Па. Масса одной молекулы: m_0 = m/N , концентрация газа: n = N/V . p_м + p_a = \frac{1}{3} \frac{m}{N} \frac{N}{V} v^2 = \frac{1}{3} \frac{m}{V} v^2. Отсюда: v = \sqrt{\frac{3(p_м + p_a)V}{m}} = \sqrt{\frac{3\cdot 5\cdot 10^6~Па \cdot 20\cdot 10^{-3}~м^3}{1~кг}} \approx 548~м/с.

Задача 4

Условие

Чему равно соотношение давлений в сосудах с кислородом и водородом p_к/p_в , если концентрации газов и среднеквадратичные скорости одинаковы?

Решение

Давление газа пропорционально произведению его концентрации и средней кинетической энергии теплового движения: p = \frac{2}{3} n E. Последняя связана со среднеквадратичной скоростью соотношением: E = \frac{m v_кв^2}{2}. Поскольку молекула кислорода в 16 раз тяжелее молекулы водорода, а по условию, среднеквадратичные скорости газов совпадают, средние энергии теплового движения у газов отличаются в 16 раз. Таким образом, p_к/p_в = 16 .

Задача 5

Условие

В баллоне А находится кислород массой 8 г, а в таком же баллоне Б – водород массой 0,5 г. Сравните давления в баллонах, если у молекул кислорода и водорода одинаковы: а) средние квадратичные скорости; б) средние кинетические энергии.

Решение

а) Давление можно определить по формуле: p = \frac{1}{3} n m_0 v^2. Применим эту формулу для кислорода и для водорода: p_к = \frac{1}{3} n_к m_{0к} v_к^2, p_в = \frac{1}{3} n_в m_{0в} v_в^2. Тогда: \frac{p_к}{p_в} = \frac{m_{0к} n_к}{m_{0в} n_в} = \frac{m_{0к} \frac{N_к}{V}}{m_{0в} \frac{N_в}{V}} = \frac{m_к}{m_в} = \frac{8~г}{0,5~г} = 16. б) Давление газа пропорционально произведению его концентрации и средней кинетической энергии теплового движения: p = \frac{2}{3} n E. Применим эту формулу для кислорода и для водорода: p_к = \frac{2}{3} n_к E_к, p_в = \frac{2}{3} n_в E_в. Концентрацию любого газа можно выразить через число молекул и объем: n = N/V . Так как количество вещества можно найти двумя способами: \nu = \frac{m}{\mu} = \frac{N}{N_A}, тогда: N = N_A \frac{m}{\mu}. Поэтому: n = \frac{m N_A}{V \mu}. Теперь можно найти искомое отношение давлений: \frac{p_к}{p_в} = \frac{n_к}{n_в} = \frac{m_к \mu_в}{m_в \mu_к} = \frac{8~г \cdot 2~г/моль}{0,5~г \cdot 32~г/моль} = 1.

Задача 6

Условие

В закрытом сосуде происходит полное сгорание кусочка угля с образованием углекислого газа. После этого сосуд охлаждают до начальной температуры. Сравните конечное давление в сосуде с начальным. Объем угля мал по сравнению с объемом сосуда.

Решение

Типичной ошибкой в этой задаче может быть такое утверждение: «Поскольку масса газа в сосуде после сгорания угля увеличилась, то должно возрасти и давление». Однако согласно уравнению МКТ p = n k T = \frac{N}{V} k T, давление газа зависит не от массы газа, а от количества его молекул.

В сосуде происходит реакция С + О_2 = СО_2 . В результате этой реакции выделяется тепло (происходит сгорание топлива), но затем сосуд охлаждают до прежней температуры. Из уравнения реакции следует, что каждую вступившую в реакцию молекулу кислорода заменяет одна образовавшаяся молекула углекислого газа. Полное количество молекул газа не изменяется, значит конечное давление в сосуде совпадает с начальным. В этих рассуждениях мы считаем, что объем газа не изменился, так как объем кусочка угля пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда.

Задача 7

Условие

При повышении абсолютной температуры азота в 2 раза каждая вторая молекула диссоциировала на атомы. Во сколько раз изменилось давление газа?

Решение

Пусть вначале в сосуде было N_1 молекул азота. Т.к. азот – двухатомный газ, то при диссоциации из одной молекулы азота образуется два атома азота. Значит, общее число частиц в результате диссоциации увеличилось. А поскольку распадается каждая вторая молекула, то в целом общее число частиц увеличилось в результате диссоциации в 1,5 раза, N_2 = (N_1/2 + 2\cdot N_1/2) = 1,5 N_1 . Соответственно, концентрация n = N/V тоже увеличилась в 1,5 раза. Согласно условию температура газа выросла в 2 раза, тогда давление p = n k T увеличилось в 3 раза.