шишкина_семинар 2

Задача 8 Условие Молекулы какого газа при температуре $20^\circC$ имеют среднюю квадратичную скорость $510~м/с$? Решение Переведем температуру из градусов Цельсия в градусы Кельвина: $$ T = 20 + 273 = 293~К. $$ Средняя кинетическая энергия теплового движения молекул идеального газа прямо пропорциональна абсолютной температуре: $$ E = \frac{3}{2} k T. $$ С другой стороны, $$ E = \frac{m_0 v^2}{2}, $$ где $v = 510~м/с$ – средняя квадратичная скорость молекул, а $m_0$ – масса одной молекулы газа. Тогда: $$ \frac{3}{2} k T = \frac{m_0 v^2}{2}, \implies v = \sqrt{\frac{3 k T}{m_0}}. $$ Умножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на $N_A$ и учтем, что $m_0 \cdot N_A = \mu$ – молярная масса газа, которую нам и нужно найти, а $k \cdot N_A = R$ – универсальная газовая постоянная, $R = 8,31~Дж/(моль\cdotК)$. Тогда: $$ v = \sqrt{\frac{3 R T}{\mu}}, $$ откуда: $$ \mu = \frac{3 R T}{v^2} = \frac{3\cdot 8,31~\frac{Дж}{К\cdotмоль} \cdot 293~К}{(510~м/с)^2} \approx 0,028~кг/моль. $$ Итак, молярная масса данного газа $\mu = 28~г/моль$, то есть это азот $N_2$, этилен $C_2H_4$ или угарный газ $СО$. Задача 9 Условие Найдите среднюю квадратичную скорость броуновской частицы при температуре $20^\circC$. Броуновскую частицу рассматривайте как шарик радиусом $3~мкм$, плотность которого равна плотности воды. Решение Броуновскую частицу бомбардируют молекулы воды, в которой она находится. Это является причиной движения броуновской частицы. Для броуновской частицы можно применить формулу средней квадратичной скорости, полученную в предыдущей задаче: $$ v = \sqrt{\frac{3 k T}{m_0}}, $$ где $m_0$ – это масса броуновской частицы, $m_0 = \rho V$. В условии задачи предложено рассматривать броуновскую частицу как шарик радиусом $r = 3~мкм = 3\cdot 10^{-6}~м$, поэтому: $$ m_0 = \frac{4}{3} \pi \rho r^3. $$ Тогда: $$ v = \sqrt{\frac{3 k T}{m_0}} = \sqrt{\frac{9 k T}{4 \pi \rho r^3}} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{k T}{\pi \rho r^3}}. $$ Подставим численные значения, в том числе постоянную Больцмана $k = 1,38\cdot 10^{-23}~Дж/K$ и плотность воды $\rho = 1000~кг/м^3$: $$ v = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{1,38\cdot 10^{-23}~Дж/К \cdot 293~К}{3,14 \cdot 1000~кг/м^3 \cdot (3\cdot 10^{-6}~м)^3}} \approx 0,00033~м/с = 0,33~мм/с. $$ Задача 10 Условие Оценить расстояние между молекулами воздуха при нормальных условиях (т.е. при атмосферном давлении $p = 1~атм = 1 \cdot 10^5~Па$ и температуре $t = 0^\circС$, или $T = 273~К$). Решение Из формулы $p = n k T$ выразим концентрацию молекул воздуха: $$ n = \frac{p}{k T}. $$ Поскольку $n$ – число молекул в единице объема, то на одну молекулу приходится объем: $$ V_1 = \frac{1}{n} = \frac{k T}{p}. $$ Если представить объем $V_1$, приходящийся на одну молекулу, как куб, то длина ребра этого куба: $$ a = \sqrt[3]{V_1} = \sqrt[3]{\frac{k T}{p}} \approx 3,4\cdot 10^{-9}~м. $$ Эта величина и может служить оценкой среднего расстояния между молекулами воздуха. Задача 11 Условие Оцените скорость роста толщины слоя серебра при напылении, если атомы серебра оказывают при падении на подложку давление $p = 0,1~Па$. Средняя энергия атома серебра $E = 10^{-19}~Дж$, плотность серебра $\rho = 10,5~г/см^3$, молярная масса $\mu = 108~г/моль$. Решение Пусть на единицу площади подложки в единицу времени попадает $n$ атомов серебра. Так как нас просят оценить скорость роста, а не найти ее точно, будем считать, что все атомы летят перпендикулярно подложке с одинаковой скоростью $v$. Удары атомов о подложку можно считать абсолютно неупругими, поскольку серебро осаждается. Тогда давление $p$, оказываемое на подложку, равно $p = n m v$, где $m = \mu/N_A$ — масса атома серебра, $N_A = 6,02\cdot 10^{23}~моль^{-1}$ – число Авогадро. Скорость атома можно оценить при помощи формулы: $$ v = \sqrt{\frac{2 E}{m}}. $$ Пусть за время $\Delta t$ на участок подложки площадью $S$ падает $N$ атомов, и при этом осаждается масса $M$ серебра. Тогда объём осадившегося слоя равен: $$ \Delta V = \frac{M}{\rho} = \frac{m N}{\rho}, $$ а его толщина равна: $$ \Delta x = \frac{\Delta V}{S} = \frac{m N}{\rho S}. $$ Учитывая, что $$ n = \frac{N}{S \Delta t}, $$ для скорости роста толщины слоя серебра получим: $$ u = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{m}{\rho} \cdot \frac{N}{S \Delta t} = \frac{m n}{\rho} = \frac{m n v}{\rho v} = \frac{p}{\rho v} = \frac{p}{\rho \sqrt{\frac{2 E N_A}{\mu}}} \approx 9\cdot 10^{-9}~м/с. $$ Видно, что толщина слоя растёт достаточно медленно — каждую секунду её толщина увеличивается примерно на $9~нм$. Для маленьких длин и величин, выражаемых в единицах длины, можно использовать не только микрометры, нанометры и пикометры. Также их можно выражать в единицах, называемых ангстремами (обозначается как Å): $1~\AA = 10^{-10}~м$. Поэтому $u \approx 9~нм/с = 90~\AA/с$. Для оценки скорости роста толщины можно было использовать и другие модели – например, рассматривать, что в среднем проекции скорости на каждое направление одинаковы, поэтому в нужном нам направлении молекула движется со скоростью $v/3$. Также к оценке можно добавить рассужде...