шишкина_семинар 2: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 8

Условие

Молекулы какого газа при температуре 20^\circ\text{C} имеют среднюю квадратичную скорость 510~м/с ?

Решение

Переведем температуру из градусов Цельсия в градусы Кельвина: T = 20 + 273 = 293~К. Средняя кинетическая энергия теплового движения молекул идеального газа прямо пропорциональна абсолютной температуре: E = \frac{3}{2} k T. С другой стороны, E = \frac{m_0 v^2}{2}, где v = 510~м/с – средняя квадратичная скорость молекул, а m_0 – масса одной молекулы газа. Тогда: \frac{3}{2} k T = \frac{m_0 v^2}{2}, \implies v = \sqrt{\frac{3 k T}{m_0}}. Умножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на N_A и учтем, что m_0 \cdot N_A = \mu – молярная масса газа, которую нам и нужно найти, а k \cdot N_A = R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31~Дж/(моль\cdotК) . Тогда: v = \sqrt{\frac{3 R T}{\mu}}, откуда: \mu = \frac{3 R T}{v^2} = \frac{3\cdot 8,31~\frac{Дж}{К\cdotмоль} \cdot 293~К}{(510~м/с)^2} \approx 0,028~кг/моль. Итак, молярная масса данного газа \mu = 28~г/моль , то есть это азот N_2 , этилен C_2H_4 или угарный газ СО .

Задача 9

Условие

Найдите среднюю квадратичную скорость броуновской частицы при температуре 20^\circ\text{C} . Броуновскую частицу рассматривайте как шарик радиусом 3~мкм , плотность которого равна плотности воды.

Решение

Броуновскую частицу бомбардируют молекулы воды, в которой она находится. Это является причиной движения броуновской частицы. Для броуновской частицы можно применить формулу средней квадратичной скорости, полученную в предыдущей задаче: v = \sqrt{\frac{3 k T}{m_0}}, где m_0 – это масса броуновской частицы, m_0 = \rho V . В условии задачи предложено рассматривать броуновскую частицу как шарик радиусом r = 3~мкм = 3\cdot 10^{-6}~м , поэтому: m_0 = \frac{4}{3} \pi \rho r^3. Тогда: v = \sqrt{\frac{3 k T}{m_0}} = \sqrt{\frac{9 k T}{4 \pi \rho r^3}} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{k T}{\pi \rho r^3}}. Подставим численные значения, в том числе постоянную Больцмана k = 1,38\cdot 10^{-23}~Дж/K и плотность воды \rho = 1000~кг/м^3 : v = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{1,38\cdot 10^{-23}~Дж/К \cdot 293~К}{3,14 \cdot 1000~кг/м^3 \cdot (3\cdot 10^{-6}~м)^3}} \approx 0,00033~м/с = 0,33~мм/с.

Задача 10

Условие

Оценить расстояние между молекулами воздуха при нормальных условиях (т.е. при атмосферном давлении p = 1~атм = 1 \cdot 10^5~Па и температуре t = 0^\circС , или T = 273~К ).

Решение

Из формулы p = n k T выразим концентрацию молекул воздуха: n = \frac{p}{k T}. Поскольку n – число молекул в единице объема, то на одну молекулу приходится объем: V_1 = \frac{1}{n} = \frac{k T}{p}. Если представить объем V_1 , приходящийся на одну молекулу, как куб, то длина ребра этого куба: a = \sqrt[3]{V_1} = \sqrt[3]{\frac{k T}{p}} \approx 3,4\cdot 10^{-9}~м. Эта величина и может служить оценкой среднего расстояния между молекулами воздуха.

Задача 11

Условие

Оцените скорость роста толщины слоя серебра при напылении, если атомы серебра оказывают при падении на подложку давление p = 0,1~Па . Средняя энергия атома серебра E = 10^{-19}~Дж , плотность серебра \rho = 10,5~г/см^3 , молярная масса \mu = 108~г/моль .

Решение

Пусть на единицу площади подложки в единицу времени попадает n атомов серебра. Так как нас просят оценить скорость роста, а не найти ее точно, будем считать, что все атомы летят перпендикулярно подложке с одинаковой скоростью v . Удары атомов о подложку можно считать абсолютно неупругими, поскольку серебро осаждается. Тогда давление p , оказываемое на подложку, равно p = n m v , где m = \mu/N_A — масса атома серебра, N_A = 6,02\cdot 10^{23}~моль^{-1} – число Авогадро. Скорость атома можно оценить при помощи формулы: v = \sqrt{\frac{2 E}{m}}. Пусть за время \Delta t на участок подложки площадью S падает N атомов, и при этом осаждается масса M серебра. Тогда объём осадившегося слоя равен: \Delta V = \frac{M}{\rho} = \frac{m N}{\rho}, а его толщина равна: \Delta x = \frac{\Delta V}{S} = \frac{m N}{\rho S}. Учитывая, что n = \frac{N}{S \Delta t}, для скорости роста толщины слоя серебра получим: u = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{m}{\rho} \cdot \frac{N}{S \Delta t} = \frac{m n}{\rho} = \frac{m n v}{\rho v} = \frac{p}{\rho v} = \frac{p}{\rho \sqrt{\frac{2 E N_A}{\mu}}} \approx 9\cdot 10^{-9}~м/с. Видно, что толщина слоя растёт достаточно медленно — каждую секунду её толщина увеличивается примерно на 9~нм . Для маленьких длин и величин, выражаемых в единицах длины, можно использовать не только микрометры, нанометры и пикометры. Также их можно выражать в единицах, называемых ангстремами (обозначается как Å): 1~\AA = 10^{-10}~м . Поэтому u \approx 9~нм/с = 90~\AA/с .

Для оценки скорости роста толщины можно было использовать и другие модели – например, рассматривать, что в среднем проекции скорости на каждое направление одинаковы, поэтому в нужном нам направлении молекула движется со скоростью v/3 . Также к оценке можно добавить рассуждение о том, что в нужном нам направлении летят не все молекулы в данном объеме, а только их половина (а вторая половина летит в обратном направлении). В зависимости от используемой модели будут получаться разные численные значения. Однако обычно в задачах-оценках важен именно порядок исследуемой величины, а не ее точное численное значение.

Задача 12

Условие

Два коаксиальных цилиндра разного радиуса R_1 = 5~см и R_2 = 25~см помещены в вакуум. Вдоль образующей внутреннего цилиндра имеется узкая щель. Вдоль оси системы натянута платиновая проволочка, покрытая тонким слоем серебра. Если проволочку с помощью электротока раскалить до температуры T = 1000~К , то образуется налёт в виде полосы на боковой поверхности внешнего цилиндра напротив щели. Цилиндры приводят во вращение вокруг их общей оси с некоторой угловой скоростью \omega . В результате на боковой поверхности внешнего цилиндра образуется ещё одна полоса налёта, смещённая относительно первой на S = 7~см (расстояние отсчитывается вдоль боковой поверхности). Относительную атомную массу серебра считать A = 100 .

Найти среднюю скорость атомов серебра.

Найти среднее время пролета атомом промежутка между цилиндрами.

Найти угловую скорость \omega системы.

Решение

Зная атомную массу серебра запишем его молярную массу: \mu = 100~г/моль = 0,1~кг/моль . Определим среднюю скорость атомов серебра: \frac{m_0 v^2}{2} = \frac{3}{2} k T, \implies v = \sqrt{\frac{3 k T}{m_0}} = \sqrt{\frac{3 R T}{\mu}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8,31 \cdot 1000}{0,1}} \approx 499,3~м/c. Промежуток между цилиндрами атом пролетает в среднем за время: t = \frac{R_2 - R_1}{v} = \frac{0,25 - 0,05}{499,3} \approx 0,0004~c = 0,4~мс. Смещение второй полосы относительно первой возникает из-за того, что за время пролета атомом промежутка между цилиндрами внешний цилиндр успевает повернуться на некоторый угол, равный \omega t , где \omega – искомая угловая скорость вращения цилиндров. Тогда S = \omega t R_2 , откуда: \omega = \frac{S}{R_2 t} = \frac{0,07}{0,25 \cdot 0,0004} = 700~рад/с.