шишкина_семинар 3: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1

Условие

Газ находится в стальном баллоне. Есть ли трещины в баллоне, если при нагревании от 100 К до 300 К давление в баллоне изменяется от 120 кПа до 340 кПа?

Решение

Представим, что трещины в баллоне отсутствуют. Процесс, происходящий с газом, был бы изохорным, так как объем газа оставался бы неизменным. Определим, каким бы было тогда давление в баллоне изменении температуры от T_1 = 100 К до T_2 = 300 К: \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}, \implies p_2 = p_1 \frac{T_2}{T_1} = 120 кПа \cdot \frac{300 К}{100 К} = 360 кПа. Итак, если бы в баллоне не было трещин, в нем установилось бы давление 360 кПа, однако по условию задачи оно оказалось немного меньше, а именно 340 кПа. Тогда можно сделать вывод, что трещины в баллоне есть.

Задача 2

Условие

В баллоне был некоторый газ. После того, как из баллона выпустили часть газа, температура в баллоне уменьшилась в n раз, а давление – в k раз. 1) Какая часть газа выпущена? Решить задачу в общем виде и для случая n = 11/10 , k = 3 . 2) Известно, что отношение начальной и конечной масс баллона с газом равно \beta = 5/4 . Какую часть от начальной массы баллона с газом составляет начальная масса газа?

Решение

Масса газа и его макропараметры связаны уравнением Менделеева-Клапейрона. Запишем это уравнение для двух состояний: p_1 V = \frac{m_1}{M} R T_1, \quad p_2 V = \frac{m_2}{M} R T_2. Здесь учтено, что объем баллона не изменился. По условию T_1 = n \cdot T_2 , p_1 = k \cdot p_2 (из условия). Тогда \frac{p_2 V}{p_1 V} = \frac{R T_2 m_2}{R T_1 m_1}, \implies \frac{m_2}{m_1} = \frac{p_2 T_1}{p_1 T_2} = \frac{n}{k}. Часть газа, которая выпущена, равна \eta = \frac{\Delta m}{m_1} = \frac{m_1 - m_2}{m_1} = 1 - \frac{n}{k}. Определим часть выпущенного газа для конкретных численных значений: \frac{m_2}{m_1} = \frac{n}{k} = \frac{11}{30}, т.е. m_2 = \frac{11}{30} m_1; \eta = 1 - \frac{n}{k} = 1 - \frac{11/10}{3} = \frac{19}{30} \approx 0,63. Во второй части задачи необходимо учесть, что сам баллон также имел некоторую массу. Обозначим массу баллона за m_0 . Тогда \frac{m_0 + m_1}{m_0 + m_2} = \frac{5}{4}. Подставим выражение для m_2 , полученное выше, и преобразуем: 4m_0 + 4m_1 = 5m_0 + 5m_1 \cdot \frac{11}{30}. Отсюда m_0 = \frac{13 m_1}{6} . Искомое отношение: \frac{m_1}{m_0 + m_1} = \frac{m_1}{\frac{13 m_1}{6} + m_1} = \frac{6}{19}.

Задача 3

Условие

Бутылку закрыли пробкой, площадь сечения которой равна 2 см ^2 . Чтобы вытащить пробку, нужно приложить силу 10 Н. До какой температуры нужно нагреть бутылку, чтобы пробка вылетела? Начальная температура воздуха в бутылке равна 20 ^\circ C.

Решение

Важный момент в таких задачах – нельзя забывать, что на пробку действует внешнее атмосферное давление. В начале процесса внутри бутылки давление также было атмосферным p_0 = 10^5 Па.

image_task3 До момента вылета пробки из бутылки процесс нагревания газа является изохорным, поэтому запишем закон Шарля и условие равновесия пробки непосредственно перед ее вылетом: \frac{p_0}{T_0} = \frac{p_1}{T_1}, \implies p_1 = p_0 \frac{T_1}{T_0}, p_1 S = p_0 S + F, \implies p_0 \frac{T_1}{T_0} S = p_0 S + F. Осталось выразить искомую температуру: \frac{T_1}{T_0} = 1 + \frac{F}{p_0 S}, \implies T_1 = T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0 S} \right). При подстановке численных значений учтем, что T_0 = 20 + 273 = 293 К: T_1 = 293 К \left( 1 + \frac{10 Н}{10^5 Па \cdot 2 \cdot 10^{-4} м^2} \right) = 439,5 К.

Задача 4

Условие

Два одинаковых баллона соединены трубкой с клапаном, пропускающим газ из одного баллона в другой при разности давлений \Delta p \geq 1,1 атм. Сначала в одном баллоне был вакуум, а в другом – идеальный газ при температуре t_1 = 27^\circ C и давлении p_1 = 1,0 атм. Затем оба баллона нагрели до температуры t_2 = 117^\circ C. Каким стало давление в баллоне, где был вакуум?

Решение

Переведем температуры из градусов Цельсия в градусы Кельвина: T_1 = 300 К, T_2 = 390 К. Рассмотрим сосуд с идеальным газом. Так как нагревание происходит при неизменном объеме (т.е. процесс изохорный), то если бы клапан не открылся, в сосуде давление было бы p_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} = 1,3 атм. Т.е. клапан в процессе нагревания сосудов открылся (разность давлений больше 1,1 атм) и часть газа перешла в сосуд, где был вакуум. Пусть в сосуде, где был вакуум, в конце процесса установилось давление p , а в сосуде, где был газ, давление p_3 . И пусть начальное количество вещества в сосуде с газом \nu_1 , конечное \nu_3 , а в сосуде, где был вакуум, \nu . Тогда так как количество вещества сохраняется, то \nu_1 = \nu_3 + \nu . Запишем уравнения состояния газа в каждом из баллонов в начале и в конце процесса: p_1 V = \nu_1 R T_1, \quad p_3 V = \nu_3 R T_2, \quad p V = \nu R T_2. Выразим отсюда количества вещества и подставим в выражение выше: \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_3}{T_2} + \frac{p}{T_2}, \implies p_1 \frac{T_2}{T_1} = p_3 + p или p_2 = p_3 + p. С другой стороны, перетекание газа прекратиться, когда разность давлений станет меньше \Delta p и клапан закроется. Поэтому p_3 - p = \Delta p . Два последних уравнения позволяют найти давление в конце процесса в обоих баллонах. Сложим их, получим 2p_3 = p_2 + \Delta p , тогда p_3 = \frac{p_2 + \Delta p}{2} = 1,2 атм. Вычтем уравнения друг из друга, получим: 2p = (p_2 - \Delta p) , тогда p = \frac{p_2 - \Delta p}{2} = 0,1 атм.

Задача 5

Условие

В горизонтальном цилиндрическом сосуде, разделенном на две части невесомым подвижным поршнем, находится идеальный газ. Отношение объемов слева и справа от поршня равно V_1/V_2 = 1/2 . В поршне имеется насос. Какую часть газа необходимо перекачать из одной части в другую, чтобы объемы газа в обеих частях выровнялись? Температура газа в сосуде все время остается постоянной, трения нет.

Решение

image_task7 Пусть слева и справа от поршня находится \nu_1 и \nu_2 молей газа. Так как в начальном состоянии система находится в состоянии равновесия, то p_1 = p_2 и из уравнений состояния газов p_1 V_1 = \nu_1 R T , p_2 V_2 = \nu_2 R T получим \nu_1 : \nu_2 = V_1 : V_2 = 1:2 . Так как объем правой части больше объема левой части, то для выравнивания объемов в обоих частях сосуда необходимо из правой части перекачать в левую некоторое количество \Delta \nu молей газа. После того, как это произойдет, получим: p_1' V_1' = (\nu_1 + \Delta \nu) R T и p_2' V_2' = (\nu_2 - \Delta \nu) R T. Так как поршень снова будет в равновесии, то давления будут равны p_1' = p_2' . Объемы частей станут равными, поэтому \nu_1 + \Delta \nu = \nu_2 - \Delta \nu , значит: \Delta \nu = \frac{\nu_2 - \nu_1}{2}, \implies \Delta \nu = \frac{\nu_2}{4}. Итак, чтобы объемы газа в обеих частях выровнялись, необходимо из правой части в левую перекачать четверть первоначально имевшегося в правой части газа.