шишкина_семинар 1: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1

Условие

Какой объем занимают 100 моль ртути?

Решение

Для решения задачи необходимо использовать табличные данные – молярную массу ртути \mu = 0.2 кг/моль и плотность ртути \rho = 13600 кг/м ^3 . Массу ртути можно выразить через объем и плотность либо через молярную массу и количество вещества: m = \rho V = \mu \vartheta , тогда: V=\frac{\mu\vartheta}{\rho}=\frac{0.2 кг/моль\cdot 100 моль}{13600 кг/м^3}\approx 0.00147 м^3.

Задача 2

Условие

Найти число атомов в алюминиевом предмете массой 135 г.

Решение

С помощью таблицы Менделеева определяем молярную массу алюминия: \mu = 27 г/моль. Также выписываем число Авогадро: N_A = 6.02\cdot 10^{23} моль ^{-1} . Так как количество вещества можно найти двумя способами \vartheta=\frac{m}{\mu}=\frac{N}{N_A}, тогда: N=N_A\frac{m}{\mu}=6.02\cdot 10^{23} моль^{-1}\cdot \frac{135 г}{27 г/моль} \approx 3\cdot 10^{24} молекул.

Задача 3

Условие

Через микроскопические щели из баллона со сжатым воздухом ежесекундно «уходят» 5 миллиардов молекул. За какое время масса баллона с воздухом уменьшится на 1 мг? Молярная масса воздуха \mu = 29 г/моль.

Решение

Сначала найдем число молекул, содержащихся в m = 1 мг = 0.001 г воздуха аналогично тому, как это было сделано в предыдущей задаче: N=N_A\frac{m}{\mu}. Обозначим N_0 = 5\cdot 10^9 молекул – количество молекул, уходящих ежесекундно через щели в баллоне, \tau = 1 c, N_A = 6.02\cdot 10^{23} моль ^{-1} . Тогда: t=\tau\frac{N}{N_0}=\tau\cdot \frac{N_A m}{\mu N_0}=1 c\cdot \frac{6.02\cdot 10^{23} моль^{-1}\cdot 0.001 г}{29 г/моль\cdot 5\cdot 10^9 молекул}\approx 4.15\cdot 10^9 с\approx 131.65 лет.

Задача 4

Условие

Считая, что диаметр молекул водорода составляет около 2.3\cdot 10^{-10} м, подсчитать, какой длины получилась бы нить, если бы все молекулы, содержащиеся в 1 мг этого газа, были расположены в один ряд вплотную друг к другу. Сопоставить длину этой нити со средним расстоянием от Земли до Луны ( 384\ 400 км).

Решение

Сначала найдем число молекул, содержащихся в 1 мг водорода аналогично тому, как это было сделано в предыдущей задаче (молярная масса водорода \mu = 2 г/моль): N=N_A\frac{m}{\mu}. Также выписываем число Авогадро: N_A = 6.02\cdot 10^{23} моль ^{-1} . Теперь найдем длину нити из этих молекул: l=Nd=N_A\frac{m}{\mu}d=6.02\cdot 10^{23} моль^{-1}\cdot \frac{10^{-3} г}{2 г/моль}\cdot 2.3\cdot 10^{-10} м\approx 6.9\cdot 10^{10} м=6.9\cdot 10^7 км. Сравнивая эту длину со средним расстоянием от Земли до Луны, заметим, что длина нити из молекул значительно больше – примерно в 180 раз.

Задача 5

Условие

Если в молекуле воды водород заменить на дейтерий (стабильный изотоп водорода с атомной массой, равной 2), то получится вещество, называемое тяжелой водой и имеющее химическую формулу ( D_2O ). Плотность обычной воды 1.00 г/мл. Чему равна плотность тяжелой воды?

Решение

Замена водорода на дейтерий практически не влияет на свойства воды, поэтому будем считать, что расстояние между молекулами в тяжелой воде такое же, как и в обычной воде. Значит, в нашей модели плотность вещества меняется только из-за того, что дейтерий в два раза тяжелее водорода. Поэтому отношение плотностей тяжелой воды и обычной воды равно отношению масс молекул, из которых вещества состоят: \frac{\rho_2}{\rho_1}=\frac{m_2}{m_1}. Атомная масса молекулы обычной воды с химической формулой H_2O : m_1 = 2\cdot 1+16 = 18 а.е.м. (а.е.м. – атомная единица массы), а атомная масса молекулы тяжелой воды m_2 = 2\cdot 2 + 16 = 20 а.е.м.. Тогда плотность тяжелой воды: \rho_2=\frac{m_2}{m_1}\rho_1=1.11 г/мл. Это значение примерно совпадает с тем, которое можно найти в таблице плотностей.

Задача 6

Условие

Нейтронная звезда – сверхплотное сферическое космическое тело, обладающее размерами порядка 10 км и массой, в 2-3 раза превышающей массу Солнца. Состоит в основном из нейтронов. Нейтронную звезду можно рассматривать как одно гигантское атомное ядро. Чему равна атомная масса такого ядра, если радиус звезды равен 16 км, а средняя плотность 3\cdot 10^{14} г/см ^3 ?

Решение

Сначала определим массу данной в условии нейтронной звезды: m= \rho V= \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3=3\cdot 10^{17} кг/м^3\cdot \frac{4}{3}\pi \cdot (16000 м)^3=5.15\cdot 10^{30} кг. Теперь определим атомную массу. Для этого полученное значение массы нужно разделить на атомную единицу массы 1.66\cdot 10^{-27} кг. M=\frac{m}{1.66\cdot 10^{-27} кг}=3.1\cdot 10^{57} а.е.м..

Задача 7

Условие

При изготовлении интегральной микросхемы в кристалл сверхчистого кремния массой 1 мг вводят галлий массой 10^{-6} г. Сколько атомов кремния приходится на один атом галлия?

Решение

Обозначим массу кремния m_к = 1 мг = 0.001 г; массу галлия m_г = 10^{-6} г. Молярная масса кремния \mu_к = 28 г/моль, молярная масса галлия \mu_г = 70 г/моль (из таблицы Менделеева). Число молекул кремния и галлия найдем по аналогии с тем, как это делалось в предыдущих задачах: N_к=N_A\frac{m_к}{\mu_к}, \quad N_г=N_A\frac{m_г}{\mu_г}, тогда \frac{N_к}{N_г}=\frac{m_к\cdot \mu_г}{m_г\cdot \mu_к}=\frac{0.001 г\cdot 70 г/моль}{10^{-6} г\cdot 28 г/моль}=2500. Итак, на каждый атом примеси приходится 2500 атомов основного вещества (так называемой «матрицы»).

Задача 8

Условие

В гальванической ванне корпуса часов покрывают слоем золота толщиной 24 мкм. Сколько атомов золота в покрытии, если площадь поверхности корпуса часов равна 10 см ^2 ?

Решение

С помощью таблицы Менделеева определяем, что молярная масса золота \mu = 197 г/моль. Из таблицы плотностей выписываем плотность золота: \rho = 19.32 г/см ^3 = 19320 кг/м ^3 . Также выписываем число Авогадро: N_A = 6.02\cdot 10^{23} моль ^{-1} . Обозначим толщину покрытия h = 24\cdot 10^{-6} м, площадь поверхности корпуса часов S = 10 см^2 = 0.001 м^2 . Сначала найдем объем золота, покрывающего часы: V = S\cdot h . Теперь можно найти массу золота m = \rho V = \rho Sh . Зная массу, можно определить количество вещества \vartheta = m/\mu . C другой стороны N = N_A\cdot \vartheta . Тогда: N=N_A\frac{m}{\mu}=N_A\frac{\rho Sh}{\mu}=6.02\cdot 10^{23} моль^{-1}\cdot \frac{19320 кг/м^3\cdot 0.001 м^2\cdot 24\cdot 10^{-6} м}{197\cdot 10^{-3} кг/моль}, N\approx 1.4\cdot 10^{21} молекул.

Задача 9

Условие

В озеро средней глубиной 10 м и площадью 10 км ^2 бросили кристаллик поваренной соли массой 0.01 г. Сколько ионов хлора оказалось бы в наперстке воды объёмом 2 см ^3 , зачерпнутом из этого озера, если считать, что соль, растворившись, равномерно распределилась в озере?

Решение

Поваренная соль имеет химическую формулу NaCl. Тогда молярная масса поваренной соли: M = 0.023 + 0.035 = 0.058 кг/моль. Также выписываем число Авогадро: N_A = 6.02\cdot 10^{23} моль ^{-1} . Определим количество молекул в кристаллике поваренной соли массой 0.01 г. N_1=N_A\frac{m}{M}=6.02\cdot 10^{23}\cdot \frac{0.00001}{0.058}\approx 10^{20} молекул. Все эти молекулы равномерно распределяются по озеру объемом V_1 = Sh = 2\cdot 10^8 м ^3 . Поэтому в наперстке воды объемом V_2 = 2 см^3 = 2\cdot 10^{-6} м^3 окажется молекул воды: N_2=N_1\frac{V_2}{V_1}=10^{20}\cdot \frac{2\cdot 10^{-6}}{2\cdot 10^8}=10^6 молекул. Так как каждая молекула содержит один ион натрия и один ион хлора, то в наперстке воды объёмом 2 см ^3 , зачерпнутом из этого озера, окажется 10^6 ионов хлора.