шишкина_семинар 1

Задача 10 Условие Газ массой $m = 15$ кг, молекулы которого состоят из атомов водорода и углерода, содержит $N = 5.64\cdot 10^{26}$ молекул. Определить массу всех атомов углерода и водорода, входящих в этот газ. Решение Химическую формулу газа можно представить так: $С_xН_y$. Масса молекулы может быть выражена через массы входящих в нее атомов: $m_0 = x\cdot m_{0c} + y\cdot m_{0H}$, где $х$ и $у$ – целые числа. Умножим это уравнение на $N_A = 6.02\cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$, получим вместо масс атомов и молекул молярные массы: $$\mu = x\cdot \mu_с + y\cdot \mu_Н.$$ С другой стороны, молярная масса молекулы $$\mu = \frac{mN_A}{N}= \frac{15 кг\cdot 6.02\cdot 10^{23} моль^{-1}}{5.64\cdot 10^{26}} = 16\cdot 10^{-3} кг/моль=16 г/моль.$$ Молярные массы кислорода и водорода: $\mu_с = 12$ г/моль, $\mu_в = 1$ г/моль. Тогда $16 = 12x + y$, отсюда $x = 1$, $y = 4$. Значит, рассматриваемый газ – это метан $СН_4$. Теперь найдем массу углерода: $m_c = m_0\cdot N = \mu_с\cdot \frac{N}{N_A} = 11.24$ кг и массу водорода $m_H = 15 - 11.24 = 3.76$ кг. Задача 11 Условие В герметично закрытой лаборатории площадью $S = 80$ м$^2$ и высотой $h = 3$ м капельку ртути радиусом $r = 0.2$ мм подвергли сильному нагреву, в результате чего она быстро испарилась. Была ли при этом превышена предельно допустимая концентрация (ПДК) паров ртути в помещении? ПДК паров ртути $n_{max} = 3\cdot 10^{16}$ м$^{-3}$. Решение Для ответа на вопрос, поставленный в задаче, необходимо определить концентрацию паров ртути в помещении (обозначим ее $n$) и сравнить ее с предельно допустимой концентрацией (ПДК). Найдем сначала объем комнаты $V = Sh$. Пусть $N$ – это количество атомов ртути в помещении, тогда $n = \frac{N}{V} = \frac{N}{Sh}$. Зная радиус капельки ртути, можно определить ее объем: $$V_к=\frac{4}{3}\pi r^3.$$ Плотность ртути – величина табличная, $\rho = 13600$ кг/м$^3$. Тогда масса ртути в капельке $m = \rho V_к$. Число молекул ртути: $$N=N_A\frac{m}{\mu},$$ Тогда концентрация $$n=\frac{N}{V}=\frac{N_A m}{\mu V}=\frac{4N_A\rho \pi r^3}{3\mu Sh}.$$ Молярная масса ртути $\mu = 200.6$ г/моль, число Авогадро $N_A = 6.02\cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$. Подставим все численные значения и проведем вычисления: $$n=\frac{4\cdot 6.02\cdot 10^{23} моль^{-1}\cdot 13600 кг/м^3\cdot 3.14\cdot (0.0002 м)^3}{3\cdot 200.6\cdot 10^{-3} кг/моль\cdot 80 м^2\cdot 3 м}=5.7\cdot 10^{15} м^{-3}.$$ Так как полученная концентрация меньше $n_{max} = 3\cdot 10^{16}$ м$^{-3}$, то ПДК превышена не была. Задача 12 Условие Кристаллическая решётка железа при комнатной температуре – кубическая объёмноцентрированная. Это означает, что элементарной ячейкой является куб, во всех вершинах которого, а также в центре – на пересечении пространственных диагоналей – находятся атомы железа. Сколько атомов приходится на объём, равный объёму одной элементарной ячейки в кристалле железа? Определить минимальное расстояние между атомами железа в кристалле, зная его атомную массу $A = 56$ и плотность $\rho = 7870$ кг/м$^3$. Решение Каждый атом железа, находящийся в вершине куба, принадлежит одновременно восьми ячейкам. Таких атомов восемь. Кроме того, в центре куба расположен еще один атом, принадлежащий только данной элементарной ячейке. Таким образом, на элементарную кубическую объемноцентрированную ячейку приходится $n = 8\cdot \frac{1}{8} + 1 = 2$ атома. Т.к. атомная масса железа $A = 56$, а железо является атомарным веществом, то молярная масса железа будет равна $M = 56\cdot 10^{-3}$ кг/моль. Тогда объем $V$ одного моля железа равен $$V=\frac{M}{\rho}=\frac{56\cdot 10^{-3}}{7870}=7.1\cdot 10^{-6} м^3/моль.$$ Так как на каждую элементарную ячейку приходится $n = 2$ атома железа, число элементарных ячеек $N = \frac{N_A}{n} = \frac{N_A}{2}$, где $N_A = 6.02\cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$ – число Авогадро. С другой стороны, число элементарных ячеек в объеме одного моля $$N=\frac{V}{a^3}=\frac{N_A}{2},$$ где $a$ – ребро кубической ячейки. Найдем его: $$a=\sqrt[3]{\frac{2V}{N_A}}\approx 2.87\cdot 10^{-10} м.$$ Если бы нас просили определить постоянную решетки (ребро куба), то задача была бы решена. Но минимальным будет расстояние не между атомами в соседних вершинах куба, а между любым атомом в вершине и атомом в центре ячейки. Т.е. минимальным расстоянием будет $s$, равное половине пространственной диагонали куба. Поскольку пространственная диагональ куба $a\sqrt{3}$, то $s=\frac{a\sqrt{3}}{2} \approx 2.5\cdot 10^{-10} м.$ Задача 13 Условие Известные изобретатели Винтик и Шпунтик наладили в Цветочном городе производство красителей. Краситель «муругий» выпускается в форме кубических кристаллов, каждый из которых содержит один миллиард молекул, а краситель «наномуругий» производится в форме кубических кристаллов по 27 молекул в каждом. Экспертная комиссия в составе Знайки и Незнайки решила провести с красителями сравнительные испытания. Для этого один кристалл «муругия» положили в первый стакан воды, а во второй стакан положили кристаллы «наномуругия» такой же общей массы (количество воды в стаканах одинако...