шишкина_семинар 10: Часть 1

Видео

Конспект

Молекулярная физика. Семинар № 10. Комбинированные задачи повышенной сложности. Часть 3

Задача 1

Условие

(Инженерная олимпиада школьников, 2016). В небольшое блюдце налили M = 20 г воды. Оцените, за какое время вода полностью испарится. Температура воды и воздуха T = 20\ ^\circ C, давление насыщенных паров воды при этой температуре p = 2{,}4\cdot 10^3 Па, площадь блюдца S = 100 см ^2 , относительная влажность воздуха 70%. Считать, что влажность воздуха одинакова во всем объеме помещения (в том числе и около поверхности) и не меняется в процессе испарения.

Решение

Если бы пар был насыщенным, то скорости испарения и конденсации совпадали бы. Другими словами, количество молекул, покидающих жидкость, равнялось бы числу молекул, попадающих в жидкость из пара. Последнюю величину можно вычислить так же, как вычисляют число столкновений молекул идеального газа со стенкой сосуда. Число молекул, сталкивающихся с площадкой площади \Delta S за время \Delta t , равно \Delta N = \frac{1}{6}nv\Delta S\Delta t, где n – концентрация молекул газа, v – средняя скорость (1/6 появилась из-за того, что одна треть молекул движутся вдоль заданной оси, причем половина из них в положительном, половина в отрицательном направлении). Умножая эту формулу на массу одной молекулы, находим массу воды, конденсирующейся на площадку за время \Delta t : \Delta M = \frac{1}{6}\rho v\Delta S\Delta t, где \rho – плотность пара. Произведение \rho v выразим через давление и температуру пара. Поскольку p = nkT = \frac{1}{3}nm_0 v^2 = \frac{1}{3}\rho v^2, то v = \sqrt{3p/\rho}. Отсюда \Delta M = \frac{1}{6}\sqrt{3p\rho}\Delta S\Delta t. Используя далее закон Менделеева-Клапейрона: \rho = \frac{p\mu}{RT}, где \mu = 18 г/моль – молярная масса воды, R – универсальная газовая постоянная, найдем скорость конденсации пара на единицу площади v_M = \frac{1}{6}p\sqrt{\frac{3\mu}{RT}}. Если бы пар был насыщенным, то ровно столько воды и испарялось бы. Поэтому скорость испарения воды при температуре T определяется этой формулой с давлением, равным давлению насыщенного пара при данной температуре. Учитывая, что наш пар имеет относительную влажность 70%, семьдесят процентов испарившейся воды конденсируется назад, поэтому результирующая скорость испарения равна: v_M = \frac{0{,}3}{6}p\sqrt{\frac{3\mu}{RT}} = \frac{0{,}3}{6}\cdot 2400 Па\sqrt{\frac{3\cdot 18\cdot 10^{-3} кг/моль}{8{,}31 Дж/(моль\cdotК)\cdot 293 К}} \approx 0{,}57 кг/м^2\cdotс. Отсюда находим время испарения: t = \frac{M}{Sv_M} = \frac{0{,}02 кг}{0{,}01 м^2\cdot 0{,}57 кг/м^2\cdotс} \approx 3{,}5 с. Полученный результат парадоксален – время испарения воды из блюдца, как мы знаем, должно составить порядка суток. Однако его легко объяснить, если вспомнить, что мы можем сильно увеличить скорость испарения воды <<сдувая>> пар, образовавшийся над водой в результате испарения. Это значит, что вблизи поверхности пар является почти насыщенным независимо от того, какова его относительная влажность во всем помещении. Поэтому наша оценка, основанная на предположении об одинаковости относительной влажности во всем помещении, является очень неточной и приводит к результату, далекому от наблюдаемого в реальности.

Ответ: t \approx 3{,}5 с (оценка занижена по сравнению с реальным временем испарения из-за принятого приближения).

Задача 2

Условие

(ВсОШ, 2006). На поверхность планеты, атмосфера которой имеет среднюю молярную массу \mu = 43 г/моль и состоит только из аргона и углекислого газа (молярные массы \mu_1 = 40 г/моль и \mu_2 = 44 г/моль соответственно), опустился космический аппарат с вакуумированной полостью. От удара о поверхность планеты в стенке полости образовалась микротрещина, размеры которой меньше длины свободного пробега молекулы. Через неё в полость начал поступать газ из атмосферы планеты. Определите отношение \alpha концентраций аргона и углекислого газа в полости космического аппарата через малый промежуток времени после образования микротрещины. Для простоты вычислений считайте, что все молекулы газа имеют одинаковую кинетическую энергию.

Решение

В этой задаче речь идет об эффузии – процессе проникновения молекул газа сквозь маленькое отверстие, диаметр которого много меньше длины свободного пробега молекул. В этом случае можно считать, что при прохождении отверстия молекулы не сталкиваются друг с другом.

За малое время \Delta t изменение количества атомов аргона в полости равно: \Delta N_1 = \frac{1}{6}n_1 v_1 S\Delta t, где n_1 – концентрация аргона в атмосфере, v_1 – скорость атомов аргона в атмосфере, S – площадь микротрещины. Аналогично, изменение количества молекул углекислого газа в полости за тот же промежуток времени равно: \Delta N_2 = \frac{1}{6}n_2 v_2 S\Delta t, где n_2 – концентрация углекислого газа в атмосфере, v_2 – скорость молекул углекислого газа в атмосфере. Поскольку отношение концентраций газов в полости равно отношению количества их молекул, то с учетом предыдущего получаем: \alpha = \frac{\Delta N_1}{\Delta N_2} = \frac{n_1 v_1}{n_2 v_2}. Найдем отношение концентраций аргона и углекислого газа в атмосфере. Рассмотрим объем газа V . Средняя молярная масса газа в этом объеме \mu = \frac{\mu_1 \dfrac{n_1 V}{N_A} + \mu_2 \dfrac{n_2 V}{N_A}}{\dfrac{n_1 V}{N_A} + \dfrac{n_2 V}{N_A}} = \frac{\mu_1 n_1 + \mu_2 n_2}{n_1 + n_2}, где N_A – число Авогадро. Отсюда получим: \frac{n_1}{n_2} = \frac{\mu_2 - \mu}{\mu - \mu_1}. Выразим скорости молекул через их кинетическую энергию E : v_1 = \sqrt{\frac{2E}{m_1}} \quad и \quad v_2 = \sqrt{\frac{2E}{m_2}}, где m_1 и m_2 – массы атомов аргона и молекул углекислого газа соответственно. Поскольку m_1 = \mu_1/N_A , m_2 = \mu_2/N_A , то \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\mu_2}{\mu_1}}. Подставим все полученное в выражение для \alpha , получим: \alpha = \frac{\mu_2 - \mu}{\mu - \mu_1}\sqrt{\frac{\mu_2}{\mu_1}} \approx \frac{44 г/моль - 43 г/моль}{43 г/моль - 40 г/моль}\sqrt{\frac{44 г/моль}{40 г/моль}} \approx 0{,}35.

Ответ: \alpha \approx 0{,}35 .

Задача 3

Условие

2.35*. [10–11] (1994, 10–2) Стандартный манометрический прибор для измерения давления разреженных газов (порядка 10^{-5} от атмосферного давления) представляет собой трубку сантиметрового диаметра, заполняемую исследуемым газом. Внутри трубки проходит проволока, нагреваемая электрическим током постоянной мощности. Оказывается, что по температуре проволоки T можно определить давление газа p , используя заранее составленную для данного газа градуировочную таблицу p(T) . В одной из лабораторий понадобилось измерить таким манометром давление неона. Однако имевшаяся градуировочная таблица была составлена для гелия, атомы которого в 5 раз легче атомов неона. Какие поправки нужно внести в эту таблицу?

Решение

2.35*. Длину свободного пробега L молекулы газа при температуре T и давлении p можно оценить при помощи формулы L \simeq \frac{kT}{\pi p\cdot (2a)^2}, где a – радиус молекулы, k – постоянная Больцмана. Приняв для оценки a \sim 10^{-10} м, T \sim 300 К, получим, что для газа в рассматриваемом манометре L \sim 0{,}3 см, то есть порядка расстояния от проволоки до стенки трубки прибора. Поэтому молекулы газа в трубке практически не соударяются между собой, а взаимодействуют только с нагретой проволокой и со стенками трубки.

Будем считать, что после соударения с проволокой молекула имеет энергию, соответствующую температуре проволоки, а после соударения со стенкой – соответствующую температуре стенки. Температура проволоки зависит от теплоотдачи с её поверхности, которая, в свою очередь, пропорциональна числу ударов молекул о единицу площади этой поверхности, происходящих в единицу времени: f \sim nv \sim p\sqrt{T/\mu}, где n – концентрация молекул, v – их среднеквадратичная скорость, \mu – молярная масса газа. При одинаковых температурах проволоки в опытах с гелием и с неоном можно записать: \frac{p_{He}}{\sqrt{\mu_{He}}} = \frac{p_{Ne}}{\sqrt{\mu_{Ne}}}. Поэтому при измерении давления неона с помощью данного манометра необходимо увеличить приведённые в таблице данные для гелия в \sqrt{\mu_{Ne}/\mu_{He}} = \sqrt{5} \approx 2{,}2 раза.

Ответ: данные таблицы нужно увеличить в \sqrt{5} \approx 2{,}2 раза.