шишкина_семинар 10

Задача 6 Условие Газовый тройник. Маленький симметричный тройник соединяет три одинаковых сосуда с разреженным гелием. Все трубки тройника симметрично заполнены пористым материалом, пронизанным множеством параллельных каналов, диаметр которых много меньше длины свободного пробега молекул. В центре тройника имеется свободное от пористого материала небольшое пространство. Попадание молекулы в канал с любой стороны означает, что у молекулы есть определённая вероятность вылететь из этого канала назад через то же отверстие и дополнительная к ней вероятность вылететь через противоположное отверстие этого канала, причём эти вероятности не зависят от температуры и одинаковы для всех каналов. Изначально гелий во всех трёх сосудах имел давление $P_0$ и некоторую одну и ту же температуру. Затем, поддерживая прежнюю температуру в первом сосуде и внутри тройника, повысили температуру во втором сосуде в два раза, а в третьем – в три раза. Какие давления $P_1$, $P_2$, $P_3$ и $P_4$ установятся соответственно в трёх сосудах и в свободном пространстве внутри тройника через большое время? Решение Пусть $n_1$, $n_2$, $n_3$ и $n_4$ – установившиеся концентрации частиц соответственно в трёх сосудах и в свободном пространстве внутри тройника, тогда уравнения состояния идеального газа для этих четырёх объёмов имеют вид $$ P_1 = n_1 kT_0, \quad P_2 = n_2 k\cdot 2T_0, \quad P_3 = n_3 k\cdot 3T_0, \quad P_4 = n_4 kT_0, $$ где $k$ – постоянная Больцмана, $T_0$ – начальная температура системы. Объёмы трёх сосудов равны между собой и много больше объёма внутри тройника, поэтому закон сохранения числа частиц имеет вид $$ n_1 + n_2 + n_3 = 3\cdot \frac{P_0}{kT_0}. $$ Поскольку диаметр каналов много меньше длины свободного пробега молекул, их поток следует рассчитывать через движение отдельных частиц, а не газа в целом. Поток $Z$ частиц через канал (в одну сторону) прямо пропорционален концентрации $n_{in}$ частиц на входе в канал и их средней скорости, которая пропорциональна корню из абсолютной температуры $T_{in}$, то есть этот поток имеет вид $$ Z = A\cdot n_{in}\cdot \sqrt{T_{in}}, $$ где $A$ – коэффициент, одинаковый для всех трубок с любой стороны. Через большое время потоки в разные стороны через каждую трубку сравняются: $$ \left\{ \begin{array}{l} An_1\sqrt{T_0} = An_4\sqrt{T_0},\\ An_2\sqrt{2T_0} = An_4\sqrt{T_0},\\ An_3\sqrt{3T_0} = An_4\sqrt{T_0}. \end{array} \right. $$ Примечание. В силу симметрии тройника совпали вообще все шесть потоков (в две стороны для каждой из трёх трубок), но если бы, например, сечения трубок различались, то этого всеобщего равенства уже не случилось. Решая совместно все 8 записанных выше уравнений, исключаем 4 концентрации и находим 4 искомых давления: $$ P_1 = P_4 = \frac{3P_0}{1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}} \approx 1{,}3P_0, $$ $$ P_2 = \frac{3P_0\sqrt{2}}{1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}} \approx 1{,}9P_0, $$ $$ P_3 = \frac{3P_0\sqrt{3}}{1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}} \approx 2{,}3P_0. $$ Ответ: $P_1 = P_4 \approx 1{,}3P_0$, $P_2 \approx 1{,}9P_0$, $P_3 \approx 2{,}3P_0$. Задача 7 Условие При нормальных условиях кислород состоит из двухатомных молекул $O_2$. При повышении температуры часть молекул может диссоциировать, в результате чего из каждой молекулы $O_2$ образуются два атома $O$. На рисунке 6 показаны два идентичных циклических процесса 1 и 2 в координатах $(\rho, p)$, где $\rho$ – плотность газа, $p$ – давление. По осям отложены безразмерные величины $p/p_0$ и $\rho/\rho_0$, где $p_0$ и $\rho_0$ – некоторые масштабные коэффициенты. При проведении первого эксперимента рабочим веществом служил молекулярный кислород $O_2$ (низкие температуры). Второй эксперимент проводился при значительно более высоких температурах. При этом часть кислорода находилась в молекулярном ($O_2$), а часть – в атомарном ($O$) состоянии, и степень диссоциации не изменялась в течение эксперимента. Масса газа в обоих экспериментах была одной и той же. Известно, что отношение максимальных температур в этих экспериментах $k_{max} = T_{2,max}/T_{1,max} = 5{,}0$. Определите степень диссоциации $\alpha$ (долю диссоциированных молекул) молекул кислорода во втором эксперименте. Определите отношение $k_{min}$ минимальных температур в этих экспериментах. Решение Пусть $\nu$ – число молей $O_2$ до диссоциации, $\alpha$ – часть диссоциированных молекул. Число молей молекулярного кислорода $O_2$ после диссоциации $\nu_2 = (1-\alpha)\nu$, число молей атомарного кислорода $O$ – $\nu_1 = 2\alpha\nu$. Запишем уравнения состояния для молекулярного и атомарного кислорода: $$ p_{O_2}V = \nu_2 RT = (1-\alpha)\nu RT, \qquad p_O V = \nu_1 RT = 2\alpha\nu RT. $$ Согласно закону Дальтона $p = p_{O_2} + p_O$, откуда: $$ pV = (1+\alpha)\nu RT = \frac{m}{\mu_2}RT(1+\alpha), $$ где $\mu_2$ – молярная масса $O_2$. Последнее уравнение можно переписать в виде: $$ p = \frac{\rho}{\mu_2}RT(1+\alpha) \qquad или \qquad \left( \frac{p}{\rho} \right)_2 = \frac{RT_2}{\mu_2}(1+\alpha), \tag{13} $$ где индекс 2 означает, что...