Влажность. Поверхностное натяжение.: Семинар 1

Задача 1

Условие

В двух сосудах с разными объемами V и 3V , связанные трубкой с закрытым краном, содержится влажный воздух, т.е. воздух с водянными парами. В первом сосуде влажность воздуха \eta равна 100\% . А во втором \eta=20\% . Температуры и давления соответственно одинаковы. После открытия крана газы начинают смешиваться. Какова будет относительная влажность после установления равновесия газов?

Решение

Обозначим парциальное давление водяного пара через p_v , а давление насыщенного пара при той же температуре — через p_{sat}(T) . Абсолютная влажность — масса пара в единице объема; относительная показывает долю насыщения.

\rho_{v} = \frac{m_{v}}{V}

\varphi = \frac{p_{v}}{p_{sat}(T)};\quad\quad\varphi_{\%} = 100\%\,\varphi

Температуры одинаковы, поэтому давление насыщения в обоих сосудах одно и то же. При отсутствии жидкой воды, которая могла бы испаряться, масса пара сохраняется. Масса в каждом сосуде пропорциональна произведению его объема на относительную влажность. Делим суммарное содержание пара на общий объем:

\varphi_{f} = \frac{\varphi_{1}V_{1} + \varphi_{2}V_{2}}{V_{1} + V_{2}} = \frac{1 \cdot V + 0.2 \cdot 3V}{4V} = 0.40

Получено значение ниже насыщения; конденсация не нужна. Усреднение выполнено с весами, равными объемам сосудов.

Ответ

Конечная относительная влажность \varphi_f=40\% .

Задача 2

Условие

В трех сосудах объемы относятся как один, два и три. Температуры и полные давления одинаковы. В первом сосуде влажность составляет сто процентов, во втором — пятьдесят процентов, в третьем она неизвестна. После соединения всех сосудов устанавливается влажность сорок процентов. Нужно восстановить первоначальное состояние третьего сосуда.

Решение

При одинаковой температуре количество пара пропорционально произведению объема и влажности. Суммарный объем равен 6V . Из закона сохранения массы воды получаем:

1 \cdot V + 0.5 \cdot 2V + \varphi_{3} \cdot 3V = 0.4 \cdot 6V

Два известных сосуда дают вклад V+0.5\cdot2V=2V . Остаток приходится на третий сосуд:

\varphi_{3} = \frac{0.4 \cdot 6 - 1 - 0.5 \cdot 2}{3} = \frac{2}{15} \approx 0.133

Ответ

Начальная влажность в сосуде объемом 3V равна \varphi_3=\frac{2}{15}\approx13.3\% .

Задача 3

Условие

В двух одинаковых по объему половинках сосуда, разделенные перегородкой, находится воздух. а) В первой половинке температура равна 0^\circ\mathrm{C} , влажность 100\% ; во второй 100^\circ\mathrm{C} , влажность 0\% ; б) В первой t=0^\circ\mathrm{C} , влажность 0\% ; во второй t=100^\circ\mathrm{C} , влажность 100\% . Давления одинаковы и равны 10^5 Па. Стенки и перегородка сосуда не проводят тепло и обладают нулевой теплоемкостью. Каковы будут температура t в ^\circ\mathrm{C} , давление p , владжность \eta после того, как вынут перегородку и установится тепловое равновесие?

Решение

а)

Простое усреднение температур или влажностей неприменимо: при одинаковых давлении и объеме холодная половина содержит больше молекул. Разделим количество вещества на сухой воздух и водяной пар. Используем идеальную газовую модель и округленные температуры:

T_{1} = 273\, K,\quad T_{2} = 373\, K,\quad p_{0} = 10^{5}\, Pa,\quad p_{s} = 611\, Pa

n_{a} = \frac{(p_{0} - p_{s})V}{RT_{1}} + \frac{p_{0}V}{RT_{2}},\quad\quad n_{v} = \frac{p_{s}V}{RT_{1}}

Воздух считаем двухатомным газом с пятью активными степенями свободы, водяной пар — газом с шестью. Сосуд жесткий и теплоизолированный, стенки не запасают энергию. Поэтому суммарная внутренняя энергия сохраняется:

U_{i} = \frac{5}{2}(2p_{0} - p_{s})V + 3p_{s}V = R\left( \frac{5}{2}n_{a} + 3n_{v} \right)T_{f}

T_f=\frac{\frac52(2p_0-p_s)V+3p_sV}{R(\frac52n_a+3n_v)}\approx315.23\,\text{К}

По уравнению состояния найдем полное и парциальное давления в удвоенном объеме:

p_{f} = \frac{(n_{a} + n_{v})RT_{f}}{2V},\quad\quad p_{v,f} = \frac{n_{v}RT_{f}}{2V},\quad\quad\varphi_{f} = \frac{p_{v,f}}{p_{sat}(T_{f})}

При подстановке получаем p_f\approx9.9991\cdot10^4\,\text{Па} и p_{v,f}\approx352.8\,\text{Па} . Давление насыщения при повышении температуры растет; оно уже при начальной холодной температуре составляло 611\,\text{Па} . Поэтому конечный пар ненасыщен, и предположение об отсутствии конденсации согласовано с результатом.

б)

Используем модель идеальных газов с постоянными молярными теплоемкостями. Объем каждой половины равен V , общий объем после удаления перегородки — 2V . Объемом конденсата, теплоемкостью стенок и внешним теплообменом пренебрегаем. Сухой воздух считаем двухатомным, водяной пар — практически чистой водой:

T_1=273\,\text{К},\quad T_2=373\,\text{К},\quad n_a=\frac{p_0V}{RT_1},\quad n_w=\frac{p_0V}{RT_2},\quad C_a=\frac52R,\quad C_v=3R

Сначала предположим, что вся вода остается паром. Из сохранения внутренней энергии получаем температуру и парциальное давление воды для этой ветви:

T_* =\frac{n_a C_aT_1+n_w C_vT_2}{n_a C_a+n_w C_v}\approx319.760\,\text{К},\qquad p_{v,*}=\frac{n_wRT_*}{2V}\approx42.863\,\text{кПа}

Эта ветвь допустима только при p_{v,*}\le p_{sat}(T_*) . Если неравенство нарушается, часть пара конденсируется и выделяющаяся энергия изменяет конечную температуру. Само начальное насыщение еще не доказывает наличие конденсата в конечном состоянии.

p_{v,f} \leq p_{sat}(T_{f});\quad\quad p_{v,f} = p_{sat}(T_{f})\ \text{при наличии равновесной жидкости}

Запишем обе ветви одной формулой. При пробной температуре T количество воды в паровой фазе не превышает ни общего количества воды, ни количества насыщенного пара в доступном объеме. Остаток находится в жидкости:

n_v(T)=\min\!\left[n_w,\frac{2V p_{sat}(T)}{RT}\right],\qquad n_l(T)=n_w-n_v(T)

Пусть L_m(T) — молярная теплота испарения при температуре T . Разность молярных внутренних энергий пара и жидкости равна \Delta u(T)=L_m(T)-RT : из разности энтальпий вычитается работа расширения идеального пара, а объемом жидкости пренебрегаем. Модель постоянной теплоемкости пара задает изменение его внутренней энергии между начальной и конечной температурами.

Для удобства сначала мысленно считаем всю воду паром при конечной температуре. Замена части этого пара жидкостью уменьшает энергию на n_l(T)\Delta u(T) . Тогда закон сохранения энергии принимает вид:

n_aC_a(T-T_1)+n_wC_v(T-T_2)=n_l(T)\left[L_m(T)-RT\right]

Каждая часть уравнения имеет размерность энергии. Положительная правая часть — энергия, высвобождаемая при конденсации; она компенсирует нагрев газовой смеси относительно ветви без фазового перехода. При отсутствии жидкости правая часть обращается в нуль и возвращает T=T_* . Для двухфазной ветви температуру находят как физически допустимый корень уравнения с табличными функциями p_{sat}(T) и L_m(T) .

После нахождения температуры подставляем количество оставшегося пара в уравнение состояния. Полное давление создают сухой воздух и пар, а влажность определяется только парциальным давлением воды:

p_f(T)=\frac{[n_a+n_v(T)]RT}{2V},\qquad \varphi_f(T)=\frac{n_v(T)RT}{2V p_{sat}(T)}

Ответ

а) T_f\approx315.2\,\text{К} (около 42.2\,{}^\circ\mathrm C ), p_f\approx99.99\,\text{кПа} . Относительная влажность в долях единицы: \varphi_f=\frac{352.8\,\text{Па}}{p_{sat}(315.23\,\text{К})} . Для ее численного значения нужно табличное давление насыщенного пара при найденной температуре.

б) Конечная температура T_f — физически допустимый корень уравнения

n_aC_a(T_f-T_1)+n_wC_v(T_f-T_2)=\left[n_w-\min\!\left(n_w,\frac{2V p_{sat}(T_f)}{RT_f}\right)\right]\left[L_m(T_f)-RT_f\right]

Далее p_f=\frac{[n_a+n_v(T_f)]RT_f}{2V} и \varphi_f=\frac{n_v(T_f)RT_f}{2V p_{sat}(T_f)} в долях единицы. При n_l(T_f)>0 влажность равна 100\% ; она также равна 100\% на границе насыщения без жидкости. Если p_{v,*}\le p_{sat}(T_*) , конденсация не требуется и T_f=T_* . Численные значения окончательного состояния требуют табличных функций p_{sat}(T) и L_m(T) .