Влажность. Поверхностное натяжение.: Часть 4

Задача 6

Условие

Давления по разные стороны вблизи плоской границы раздела жидкости и газа одинаковые. Как отличаются друг от друга эти давления, если поверхность сферическая?

Решение

У плоской поверхности кривизна равна нулю. Для искривленной поверхности разность давлений определяется двумя главными кривизнами:

\Delta p = \sigma\left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right)

У сферы оба главных радиуса равны R , поэтому вклады складываются. Для выпуклой капли давление жидкости выше внешнего. У вогнутого мениска знак разности противоположный. Для цилиндрической поверхности один радиус обращается в бесконечность и соответствующий вклад исчезает.

Ответ

Для сферической выпуклой поверхности p_{\text{ж}}-p_{\text{газ}}=2\sigma/R . Для вогнутой сферической поверхности знак меняется; модуль скачка равен 2\sigma/R .

Задача

Условие

Вертикальный круглый капилляр внутреннего радиуса r=10^{-5}\,\text{м} погружен в воду, полностью смачивающую стенки. Найдите высоту подъема над уровнем большого внешнего сосуда. Даны \rho=1000\,\text{кг}/\text{м}^3 , \sigma=0.07\,\text{Н}/\text{м} , g=10\,\text{м}/\text{с}^2 . Радиус много меньше капиллярной длины.

Решение

В узком капилляре мениск приблизительно сферический. Высота столбика много больше радиуса, поэтому массой самого мениска пренебрегаем. Вес воды компенсируется поверхностной силой вдоль всей окружности трубки:

\rho g\pi r^{2}h = 2\pi r\sigma\quad \Rightarrow \quad h = \frac{2\sigma}{\rho gr}

То же равенство получается, если приравнять гидростатический дефицит давления скачку давления на вогнутом мениске. Подставим параметры:

r = 10^{- 5}\, m,\quad\sigma = 0.07\, N/m,\quad\rho = 10^{3}\, kg/m^{3},\quad g = 10\, m/s^{2}\quad \Rightarrow \quad h = 1.4\, m

Чем меньше радиус канала, тем выше капиллярный подъем. Для пор произвольного сечения эта модель дает оценку характерного размера, а не точное описание каждого канала.

Ответ

h=\frac{2\sigma}{\rho gr}=1.4\,\text{м} .

Задача 7

Условие

В ванну, наполненную ртутью, опустили стеклянную трубку длинной L=1~м так, что трубка частично заполняется ртутью. Затем один из концов закрывают пробкой и трубку вынимают из ванны, удерживая в вертикальной положении. Трубка заполнилась на 760~мм , а ее верхняя часть оказалась пустой. Оцените, при каком максимальном внутреннем диаметре D трубки такой эксперимент состоится?

Решение

Высота столба определяется балансом атмосферного давления и веса ртути:

p_{0} - p_{top} \simeq \rho gh

Однако равновесие не гарантирует устойчивости нижней границы. В широком отверстии воздух может образовать поднимающийся пузырь, одновременно часть ртути опускается.

Сравним увеличение поверхностной энергии и уменьшение гравитационной энергии для показанной ступенчатой деформации. Ее размеры принимаются порядка диаметра отверстия:

\Delta E \simeq \frac{3}{2}\sigma D^{2} - \frac{\rho gD^{4}}{8}

Поверхностный вклад пропорционален квадрату диаметра, гравитационный — четвертой степени. При малом диаметре выбранная деформация невыгодна; при большом энергия уменьшается. Порог найдем из равенства двух вкладов:

D_{crit} \simeq \sqrt{\frac{12\sigma}{\rho g}}

D_{crit}\approx\sqrt{\frac{12\cdot0.4}{13600\cdot10}}\,\text{м}\approx5.9\,\text{мм}

Численный коэффициент зависит от приближенной формы возмущения, поэтому это оценка масштаба, а не точная граница для любой трубки.

Ответ

Предельный диаметр имеет порядок нескольких миллиметров; в принятой модели D_{crit}\approx6\,\text{мм} . Для устойчивого удержания требуется меньший диаметр.