Влажность. Поверхностное натяжение.: Часть 2

Задача 3

Условие

Ведро ртути объемом 10 литров случайно опрокинулось на пол в комнате и образовало огромную лужу в форме круга. Какой диаметр и толщина слоя лужи? Поверхность пола не смачивается. Коэффициент поверхностного натяжения \sigma=0{,}4~Дж/м^2 , плотность рутит \rho=13600~кг/м^3 . Значение ускорения свободного падения примем равной g=10~м/с^2

Решение

Приблизим большую лужу плоским цилиндром; боковой поверхностью можно пренебречь, если диаметр много больше толщины. При полном несмачивании вклад верхней поверхности и контакта с основанием эквивалентен двум площадям лужи. Центр масс расположен на половине высоты слоя. При постоянном объеме энергия равна:

V = \frac{\pi d^{2}h}{4},\quad\quad E(h) \simeq \frac{2\sigma V}{h} + \frac{\rho Vgh}{2}

Увеличение толщины уменьшает поверхностный вклад, но повышает гравитационную энергию. Равновесию соответствует минимум суммы:

\frac{dE}{dh} = 0\quad \Rightarrow \quad h = 2\sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}},\quad\quad d = \sqrt{\frac{4V}{\pi h}}

Минимум можно найти и без дифференцирования, выделив полный квадрат:

\frac{1}{h} + a^{2}h = \left( \frac{1}{\sqrt{h}} - a\sqrt{h} \right)^{2} + 2a,\quad\quad a^{2} = \frac{\rho g}{4\sigma}

Квадрат обращается в нуль при ah=1 , что дает ту же толщину.

Проверим результат силовым способом. У полоски края длиной L среднее избыточное гидростатическое давление равно \rho gh/2 . Его горизонтальная результирующая компенсируется двумя поверхностными силами:

\frac{\rho gh}{2}\, hL = 2\sigma L

Подстановка данных дает h\approx3.43\,\text{мм} и d\approx1.93\,\text{м} . Диаметр действительно значительно больше толщины, поэтому плоское приближение согласовано.

Ответ

Толщина слоя h\approx3.4\,\text{мм} , диаметр лужи d\approx1.9\,\text{м} .