шишкина_семинар 11: Часть 1

Видео

Конспект

Молекулярная физика. Семинар № 11. Комбинированные задачи повышенной сложности. Часть 4

Задача 1

Условие

Свободно перемещающийся непроницаемый, тонкий и невесомый поршень делит цилиндрический сосуд объемом V = 100 л на две части. В одну часть сосуда вводят некоторое количество воды, а в другую – некоторое количество газа. В сосуде поддерживают температуру T = 373 К. Какое давление установится в сосуде, если в него вводят: а) m_1 = 74 г воды, m_2 = 10 г водорода; б) m_1 = 74 г воды, m_2 = 74 г углекислого газа; в) m_1 = 36 г воды, m_2 = 28 г азота? Молярные массы: воды H_2O \mu_1 = 18 г/моль, водорода H_2 \mu_2 = 2 г/моль, углекислого газа CO_2 \mu_3 = 44 г/моль, азота N_2 \mu_4 = 28 г/моль.

Решение

Возможны различные равновесные состояния системы <<вода-пар-поршень-газ>>. Например, вода могла испариться либо полностью, либо частично, либо не испариться вообще. Поэтому в задаче необходим анализ равновесного состояния системы для каждого случая (в нашей задаче три случая).

Случай а. Согласно условию в одну часть сосуда ввели m_1 = 74 г воды, а во вторую m_2 = 10 г водорода. В задаче не заданы объемы частей сосуда, дается только объем всего сосуда целиком. Если бы насыщенный пар при температуре T = 373 К занимал весь сосуд, масса пара была бы равна: m_{max} = \frac{\mu_1 p_{нп} V}{RT} = \frac{18 г/моль\cdot 10^5 Па\cdot 0{,}1 м^3}{8{,}31 Дж/(моль\cdotК)\cdot 373 К} \approx 58{,}1 г, где p_{нп} = 10^5 Па – давление насыщенных паров воды при температуре 100\ ^\circ C или 373 К (вода кипит при нормальном атмосферном давлении именно при такой температуре, значит давление ее насыщенного пара равно нормальному атмосферному давлению).

В первом случае масса воды равна 74 г, поэтому вся вода испариться не может. Значит, в той части сосуда, куда поместили воду, может находиться либо только вода, либо вода и пар. Второй вариант реализуется тогда, когда внешнее давление равно давлению насыщенных паров воды. Первый вариант реализуется тогда, когда внешнее давление больше давления насыщенных паров.

Внешнее давление определим, рассмотрев состояние водорода в другой части сосуда. С помощью уравнения Менделеева-Клапейрона рассчитаем, какое давление оказывал бы водород, если бы он занимал весь сосуд: p = \frac{m_2 RT}{\mu_2 V} = \frac{10 г\cdot 8{,}31 Дж/(моль\cdotК)\cdot 373 К}{2 г/моль\cdot 0{,}1 м^3} \approx 155\,000 Па, т.е. даже в этом случае давление водорода больше атмосферного. Так что при помещении водорода в некоторую часть сосуда давление будет еще больше. Значит, пар в другой части сосуда полностью сконденсируется, и вода будет целиком находиться в жидком состоянии. Если пренебречь объемом жидкой воды по сравнению с объемом сосуда, то можно заключить, что весь сосуд будет занят водородом под давлением 155 000 Па, а в другой части пренебрежимо малого объема будет находиться вода.

Случай б. Первая часть рассуждений аналогична случаю а. Чтобы понять, какой из случаев реализуется, определим давление, которое оказывал бы углекислый газ, если бы занимал весь сосуд: p = \frac{m_2 RT}{\mu_3 V} = \frac{74 г\cdot 8{,}31 Дж/(моль\cdotК)\cdot 373 К}{44 г/моль\cdot 0{,}1 м^3} \approx 52\,130 Па, что существенно меньше давления насыщенных паров воды при температуре 373 К. Поэтому углекислый газ займет такой объем, чтобы его давление стало равно 10^5 Па. Воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, чтобы определить этот объем: V_1 = \frac{m_2 RT}{\mu_3 p_{нп}} = \frac{74 г\cdot 8{,}31 Дж/(моль\cdotК)\cdot 373 К}{44 г/моль\cdot 10^5 Па} \approx 0{,}052 м^3 = 52 л. Тогда насыщенный водяной пар с водой будут занимать объем V_2 = V - V_1 = 48 л. Масса насыщенного водяного пара, т.е. количество испарившейся воды, составит: m_3 = \frac{\mu_1 p_{нп} V_2}{RT} = \frac{18 г/моль\cdot 10^5 Па\cdot 0{,}048 м^3}{8{,}31 Дж/(моль\cdotК)\cdot 373 К} \approx 28 г. Тогда не испарится 74 г - 28 г = 46 г воды – столько воды будет находиться в жидком состоянии. Так как вода в жидком состоянии занимает пренебрежимо малый объем по сравнению с объемом сосуда, то при расчетах объемом жидкой воды мы пренебрегали.

Случай с. Сложно сразу определить, какой из вариантов реализуется в этом случае. Так как воды существенно меньше, то предположим, что реализуется такой вариант: вода полностью испарится, в обеих частях сосуда будут газы, причем в той части, куда поместили воду, окажется ненасыщенный водяной пар. Проверим, действительно ли наша гипотеза верна.

Если все происходит так, как мы предположили, то после установления состояния равновесия давление в обеих частях сосуда станет одинаковым, поэтому запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для обеих частей: pV_1 = \frac{m_1}{\mu_1}RT \quad и \quad pV_2 = \frac{m_2}{\mu_4}RT, где V_1 и V_2 – объемы частей сосуда, в которых содержатся водяной пар и азот соответственно.

Сложим оба выражения и рассчитаем давление: p = \left( \frac{m_1}{\mu_1} + \frac{m_2}{\mu_4} \right)\frac{RT}{V} = \left( \frac{36 г}{18 г/моль} + \frac{28 г}{28 г/моль} \right)\frac{8{,}31 Дж/(моль\cdotК)\cdot 373 К}{0{,}1 м^3} \approx 93\,000 Па. Поскольку полученное давление меньше давления насыщенного водяного пара при температуре 373 К, то наше предположение верно – в случае с вода испарится полностью, в одной части сосуда будет ненасыщенный водяной пар, а в другой части сосуда – азот.

Ответ: а) p \approx 155\,000 Па; б) p = 10^5 Па; в) p \approx 93\,000 Па.

Задача 2

Условие

В открытый цилиндрический сосуд налиты в виде трех тонких горизонтальных слоев несмешивающиеся и взаимно нерастворимые жидкости. Сосуд с жидкостями медленно и равномерно по объему нагревают. При какой температуре в сосуде начнется процесс кипения? Давление наружного воздуха – нормальное атмосферное. Зависимость давления насыщенного пара от температуры для каждой из жидкостей можно представить в виде p_{нп} = \alpha(T - T_{пл})^2 , где T_{пл} – температура плавления; \alpha – постоянная величина. Для налитых в сосуд жидкостей температуры плавления и кипения, соответственно, равны: T_{пл1} = 300 К, T_{кип1} = 400 К, T_{пл2} = 300 К, T_{кип2} = 380 К, T_{пл3} = 250 К, T_{кип3} = 350 К. Насыщенный пар можно считать идеальным газом, p_{атм} = 10^5 Па.

task2 Решение

Сначала обсудим, в чем заключается процесс кипения жидкости. Молекулы в жидкостях постоянно двигаются – участвуют в хаотическом тепловом движении молекул. В результате этого в жидкостях постоянно образуются микроскопические пузырьки, заполненные паром этой жидкости. Эти пузырьки настолько маленькие, что за очень короткое время пар в них становится насыщенным, а давление в пузырьках становится равно давлению насыщенного пара при данной температуре: p = p_{нп} .

Что дальше происходит с каждым микроскопическим пузырьком? Дальнейшая его судьба зависит от того, как соотносятся давление внутри пузырька и внешнее давление. Внешнее давление с хорошей точностью можно считать равным p_{атм} , так как давление столба жидкости оказывается существенно меньше.

Если атмосферное давление больше давления насыщенного пара, то пузырек будет уменьшаться в размерах, пока не <<схлопнется>> – молекулы водяного пара будут возвращаться обратно в жидкость. Если давление насыщенного пара будет больше атмосферного давления, то пузырек будет увеличиваться в размерах, что будет сопровождаться процессом испарения жидкости внутрь этого пузырька (чтобы водяной пар сохранял свое состояние насыщенности). Микроскопические пузырьки будут обретать заметные размеры и всплывать на поверхность. На поверхности пузырьки пара будут лопаться, т.е. жидкость будет кипеть. Таким образом, условием начала кипения жидкости является условие p = p_{атм} .

Атмосферное давление от температуры не зависит, а давление насыщенного пара растет с увеличением температуры. Поэтому при малых температурах пузырьки будут <<схлопываться>>, а с увеличением температуры их размеры до схлопывания успевают немного вырасти, поэтому схлопывание сопровождается все более и более возрастающим шумом до тех пор, пока температура не достигнет такой, чтобы p = p_{атм} . При достижении этой температуры начнется непосредственно кипение.

Теперь исследуем кипение неоднородной жидкости, которая дана в задаче. Наиболее благоприятные для начала процесса кипения условия складываются на границах раздела слоев жидкости. Покажем это.

В пузырьках, которые образуются внутри каждой жидкости, будет находиться насыщенный пар только этой жидкости. Если же пузырек образуется на границе раздела между жидкостями (например, между i -й и j -й), в него будет происходить испарение обеих жидкостей, поэтому по закону Дальтона давление внутри будет складываться из парциальных давлений насыщенного пара каждой из жидкостей: p = p_{нп(i)} + p_{нп(j)} .

Поэтому процесс кипения начнется на одной из границ – либо на границе 1-2, либо на границе 2-3. Произойдет это при такой температуре, когда суммарное давление насыщенных паров двух жидкостей станет равно атмосферному: p_{атм} = p_{нп(i)} + p_{нп(j)} .

Используем данные в условии зависимости давления насыщенного пара каждой жидкости от температуры. Тогда из предыдущей формулы получим уравнение для температуры кипения на границе раздела жидкостей: \alpha_{(i)}\left( T_{кип(i,j)} - T_{пл(i)} \right)^2 + \alpha_{(j)}\left( T_{кип(i,j)} - T_{пл(j)} \right)^2 = p_{атм}, где T_{кип(i,j)} – температура, при которой на границе i -й и j -й жидкостей будут образовываться пузырьки пара.

Чтобы вычислить температуру кипения на границах, нужно знать значение \alpha для каждой жидкости: \alpha_{(k)} = \frac{p_{атм}}{\left( T_{кип(k)} - T_{пл(k)} \right)^2}. Подставляя коэффициенты \alpha_{(i)} и \alpha_{(j)} в предыдущую формулу, получим квадратное уравнение относительно температуры кипения T_{кип(i,j)} : \frac{\left( T_{кип(i,j)} - T_{пл(i)} \right)^2}{\left( T_{кип(i)} - T_{пл(i)} \right)^2} + \frac{\left( T_{кип(i,j)} - T_{пл(j)} \right)^2}{\left( T_{кип(j)} - T_{пл(j)} \right)^2} = 1. Полученное уравнение сложно решить в общем виде, поэтому целесообразно подставить числа: \frac{\left( T_{кип(1,2)} - 300 \right)^2}{100^2} + \frac{\left( T_{кип(1,2)} - 300 \right)^2}{80^2} = 1, (здесь числа 300, 100 и 80 имеют размерность <<кельвины>>). Решая уравнение, найдем температуру кипения на границе первой и второй жидкостей T_{кип(1,2)} = 362 К.

Аналогично получим уравнение на границе второй и третьей жидкостей \frac{\left( T_{кип(2,3)} - 300 \right)^2}{80^2} + \frac{\left( T_{кип(2,3)} - 250 \right)^2}{100^2} = 1, откуда получим температуру кипения на границе второй и третьей жидкостей: T_{кип(2,3)} = 338 К.

Другие корни квадратных уравнений дают температуры 238 К и 223 К, что ниже температур плавления каждой из жидкостей.

Таким образом, кипение жидкости в сосуде начнется на границе раздела слоев 2 и 3 при меньшей из температур кипения, т.е. при температуре 338 К.

Ответ: кипение начнется на границе слоев 2 и 3 при T = 338 К.

Задача 3

Условие

Физика в бане. В парилке при температуре 80\ ^\circ C относительная влажность воздуха равна 60%. Длинный цилиндр с <<пробой>> влажного воздуха из парилки закрывают легким поршнем и ставят цилиндр в вертикальном положении на стол.

task3 Определите массу гири, которую нужно <<аккуратно>> поставить на поршень, чтобы он опустился до середины высоты цилиндра (эксперимент проводится в парилке). Трением поршня о стенки цилиндра пренебречь. Стенки цилиндра хорошо проводят тепло. Площадь поршня цилиндра равна 10 см ^2 . Давление насыщенных паров воды при 80\ ^\circ C равно 4{,}7359\cdot 10^4 Па. Атмосферное давление считать равным 10^5 Па. Вычисления проведите с точностью до четырех <<значащих>> цифр. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с ^2 .

Решение

1. Без гири атмосферное давление влажного воздуха в цилиндре является суммой давлений газов, составляющих воздух, и ненасыщенных паров воды: p_A = p + p_i\cdot \varphi. 2. При <<нагрузке>> объем системы уменьшается в два раза. Давление газов увеличивается в два раза (изотермическое сжатие), а давление паров воды становится равным давлению насыщенного пара (избыток влаги конденсируется): p_A + \frac{mg}{S} = 2p + p_i. 3. Решаем систему уравнений и получаем: m = \frac{S}{g}\left( p_A - p_i(2\varphi - 1) \right). 4. Вычисления: m = \frac{10\cdot 10^{-4}\left( 10^5 - 0{,}47359\cdot 10^5(2\cdot 0{,}6 - 1) \right)}{10} \approx 9{,}053 кг.

Ответ: m \approx 9{,}053 кг.