шишкина_семинар 11: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 4

Условие

Давление газировки. На заводе воду в бутылках (рис.) обезгаживают (извлекают растворённый воздух), газируют углекислым газом до насыщения при температуре $t_1 = 4\ ^\circ$C и давлении $p_1 = 150$ кПа, а затем герметично закрывают и отправляют на склад, где температура воздуха согласно условиям хранения не превышает $t_2 = 35\ ^\circ$C. Пренебрегая изменением объёма жидкости и бутылки, определите:

минимальный объём надводной части $V_0$, если максимальное давление в бутылке при хранении $p_2 = 370$ кПа;

уровень $x$, до которого на заводе наливают воду, соответствующий этому объёму.

Масса воды в бутылке $m_{в} = 2$ кг, молярная масса углекислого газа $\mu = 44$ г/моль.

Геометрические размеры бутылки: $d = 3$ см, $b = 10$ см, $h = 27$ см, $H = 30$ см, $D = 13$ см.

task4_bottle

Примечание. Считайте, что растворимость газов $\sigma$ при постоянной температуре пропорциональна их парциальному давлению над жидкостью (закон Генри), а график зависимости растворимости углекислого газа в воде от температуры при его парциальном давлении $p_0 = 100$ кПа дан на рисунке ниже. Парциальным давлением паров воды в данном диапазоне температур можно пренебречь. Растворимость $\sigma$ – масса газа (в граммах), растворённого в 1 кг жидкости.

task4_graph

Решение

При увеличении температуры в объёме $V$ между поверхностью воды и крышкой увеличивается давление газа. Это происходит из-за уменьшения растворимости углекислого газа и его выхода из жидкости. В предельном случае при максимальной температуре $t_2$ внутри бутылки должно оказаться максимально допустимое давление $p_2$.

Найдём массу углекислого газа, которая дополнительно окажется в объёме $V$ при повышении температуры с $t_1$ до $t_2$. Для этого определим растворимости углекислого газа при этих температурах, воспользовавшись графиком и законом Генри: $$

\sigma_1 = \sigma_1'\frac{p_1}{p_0} \approx 4{,}50 г/кг, \qquad \sigma_2 = \sigma_2'\frac{p_2}{p_0} \approx 4{,}07 г/кг,

$$ где $\sigma_1' = 3$ г/кг и $\sigma_2' = 1{,}1$ г/кг – растворимости при температурах $t_1$ и $t_2$ при атмосферном давлении, найденные из графика. Таким образом, из-за роста температуры в объёме $V$ масса углекислого газа увеличилась на $\Delta m = (\sigma_1 - \sigma_2)m_{в} = 0{,}86$ г.

Если учесть ещё массу $m_1$ углекислого газа, который находился над поверхностью воды при герметизации бутылки, то выражение для общей массы углекислого газа будет таким: $$

m_2 = m_1 + \Delta m = \frac{p_1 V\mu}{RT_1} + \Delta m.

$$ Давление этого газа в критическом случае равно $p_2$: $$

p_2 V = \frac{m_2}{\mu}RT_2 = p_1 V\frac{T_2}{T_1} + \frac{\Delta m}{\mu}RT_2.

$$ Таким образом, минимальный надводный объём бутылки: $$

V = \frac{\Delta m}{\mu}\cdot \frac{RT_1 T_2}{p_2 T_1 - p_1 T_2} \approx 250 см^3.

$$ Объём $V$ складывается из верхнего цилиндрического объёма $V_1 = \pi d^2(H-h)/4 \approx 21{,}2$ см$^3$ и нижнего конического (усечённый конус) объёма $V_2$. Для расчётов удобно разбить объём фигуры по-другому: объём $V_к$ конуса и объём $V_0$, оставшийся от цилиндра после изъятия конуса (на рисунке заштрихован): $$

V_0 = 21{,}2 см^3 - \pi d^2(H-h)/12 \approx 14{,}1 см^3.

$$

task4_cone

Итак, $$

V = 14{,}1 см^3 + \frac{\pi y^3}{12} \approx 250 см^3, \qquad откуда \qquad y \approx 10 см.

$$ Наконец, допустимый уровень жидкости: $$

x = H - y \approx 20 см.

$$

Ответ: $V_0 \approx 250$ см$^3$, $x \approx 20$ см.

Задача 5

Условие

Разрабатывая кинетическую теорию газов, Клаузиус ввел в уравнение состояния 1 моля идеального газа поправку $b$, которая имеет смысл собственного объема молекул газа: $$

p(V-b) = RT.

$$

task5

Процесс 1–2 (рис.) производится сначала с одним молем идеального газа, а затем с одним молем газа Клаузиуса. Найдите разность $\Delta T$ максимальных температур газов в этих опытах, а также укажите, какая из них больше.

Известно, что $p_0 = 1{,}51$ МПа, $b = 44$ см$^3 \ll V_0$, $R = 8{,}310$ Дж/(моль$\cdot$К).

Решение

В рассматриваемом процессе $$

p = p_0\left( 1 - \frac{V}{V_0} \right).

$$ Температура газа Клаузиуса: $$

T = \frac{p(V-b)}{R} = -\frac{p_0}{RV_0}\left( V^2 - (V_0+b)V + V_0 b \right).

$$ Температура достигает своего максимального значения, когда производная $dT/dV = 0$. Это происходит при $V = (V_0+b)/2$. Получаем максимальную температуру $T_K$ газа Клаузиуса: $$

T_K = \frac{p_0 V_0}{4R}\left( 1 - \frac{b}{V_0} \right)^2 \approx \frac{p_0 V_0}{4R}\left( 1 - \frac{2b}{V_0} \right).

$$ Максимальную температуру $T_{Id}$ в процессе с идеальным газом можно вычислить, выполнив предельный переход $b\to 0$: $$

T_{Id} = \frac{p_0 V_0}{4R}.

$$ Таким образом, максимальная температура в процессе с идеальным газом на $$

\Delta T = T_{Id} - T_K \approx \frac{p_0 b}{2R} \approx 4{,}0 К

$$ больше, чем в процессе с газом Клаузиуса.

Ответ: $\Delta T \approx 4{,}0$ К, температура в процессе с идеальным газом больше.