шишкина_семинар 11: Часть 4

Видео

Конспект

Задача 7

Условие

Водород находится в стальном сферическом контейнере высокого давления. Плотность стали $\rho = 7800$ кг/м$^3$, предел прочности $\sigma = 5\cdot 10^8$ Н/м$^2$. Водород из контейнера заполняет легкую растяжимую оболочку воздушного шара при неизменной температуре $Т = 300$ К. Может ли этот воздушный шар поднять сферический контейнер, в котором водород находился ранее? При расчете весом водорода и оболочки шара можно пренебречь. Молярную массу воздуха примите равной 29 г/моль.

task7

Решение

Максимальное давление газа в сферической оболочке может быть найдено из условия равновесия двух полусферических частей оболочки (внешнее давление $p_0 \ll p$).

Обе половинки оболочки расталкиваются за счет давления газа внутри силами $\pi R_0^2 p$. Поэтому $$

\pi R_0^2 p \leqslant 2\pi R_0 d\sigma.

$$ Если газ (водород) поступает в легкую растяжимую оболочку воздушного шара, его давление падает до атмосферного давления $p_0$ (температура $T$ предполагается неизменной). Объем шара становится равным $$

V = \frac{4\pi R_0^3}{3}\cdot \frac{p}{p_0}.

$$ Вес стальной сферической оболочки по условию не должен превышать выталкивающей силы: $$

4\pi R_0^2 d\rho g \leqslant \frac{4\pi R_0^3}{3}\cdot \frac{p}{p_0}\cdot \rho_{возд}g.

$$ Из этих соотношений следует: $$

\frac{\sigma}{\rho} > \frac{3p_0}{2\rho_{возд}} = \frac{3}{2}\cdot \frac{RT}{\mu_{возд}}.

$$ Здесь $R$ – универсальная газовая постоянная, $\mu_{возд}$ – средняя молярная масса воздуха, $T = 300$ К – температура воздуха. Числовой расчет показывает, что это условие не выполняется: $$

\left( \frac{\sigma}{\rho} \right)_{сталь} \approx 0{,}63\cdot 10^5 \ \frac{Н\cdotм}{кг}, \qquad \frac{3}{2}\cdot \frac{RT}{\mu_{возд}} \approx 1{,}3\cdot 10^5 \ \frac{Н\cdotм}{кг}.

$$

Ответ: нет, не сможет – условие $\sigma/\rho > \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{RT}{\mu_{возд}}$ не выполняется.

Задача 8

Условие

Эксперимент. Два вертикальных цилиндрических сосуда соединены в нижней части трубкой с манометром пренебрежимо малого объёма (рис.). Внутри цилиндров установлены поршни, в верхней части цилиндров – упоры, ограничивающие подъём поршней. Расстояния от нижней части поршней до дна цилиндров при верхнем расположении поршней одинаковы и равны $h = 1$ м. Под поршнями находится один моль идеального газа, атмосферное давление $p_0 = 10^5$ Па. Поршни могут перемещаться в цилиндрах без трения.

task8

В таблице представлены результаты измерений давления в цилиндрах при пяти различных значениях температуры газа:

Задача 8

$t,\ ^\circ$C

$-50{,}0$

$-32{,}4$

$27{,}8$

$174{,}7$

$264{,}1$

$p,\ 10^5$ Па

$2{,}0$

$2{,}0$

$2{,}5$

$2{,}5$

$3{,}0$

Определите массы обоих поршней $m_1$, $m_2$ и площади сечения цилиндров $S_1$, $S_2$.

Решение

Теоретический вид зависимости давления от температуры для данной системы представлен на рисунке ниже.

task8_graph

Давление на участке $KA$: $$

p_{KA} = p_0 + \left( \frac{m_i}{S_i} \right)_{min} g,

$$ где $(m_i/S_i)_{min}$ – меньшая из двух величин $m_1/S_1$ и $m_2/S_2$. (В дальнейшем для определённости будем считать меньшей $m_1/S_1$). На этом участке в цилиндре площади $S_1$ протекает изобарический процесс до момента поднятия поршня до упора (точка $A$ на графике).

При дальнейшем увеличении температуры объём газа не меняется, а давление растёт вплоть до момента начала движения второго поршня (точка $B$). На участке $AB$: $$

p_{AB} = \frac{\nu RT}{S_1 h}.

$$ В точке $B$ давление $$

p_B = p_0 + \frac{m_2 g}{S_2}.

$$ При дальнейшем росте температуры давление не меняется до момента, когда второй поршень достигает верхнего положения (точка $C$).

Далее снова протекает изохорный процесс при объёме $(S_1+S_2)h$, так что: $$

p_{CD} = \frac{\nu RT}{(S_1+S_2)h}.

$$ Заметим, что данные таблицы таковы, что $$

\frac{p_2}{p_3} = \frac{T_2}{T_3}, \qquad \frac{p_4}{p_5} = \frac{T_4}{T_5}, \qquad p_1 = p_2, \qquad p_3 = p_4,

$$ где $p_i$, $T_i$ – давление и температура в Кельвинах в соответствующих ячейках таблицы. Значит, параметры во второй, третьей и четвёртой ячейках таблицы соответствуют точкам $A$, $B$, $C$. Тогда для участка $AB$: $$

p_B - p_A = \frac{\nu R}{S_1 h}(T_B - T_A), \qquad откуда \qquad S_1 = 0{,}01 м^2.

$$ Массу $m_1$ найдём из уравнения: $$

p_A = p_0 + \frac{m_1 g}{S_1}, \qquad следовательно, \qquad m_1 = 100 кг.

$$ Аналогично: $$

S_1 + S_2 = \frac{\nu R(T_D - T_C)}{(p_D - p_C)h}, \qquad откуда \qquad S_2 = 0{,}005 м^2, \qquad m_2 = 75 кг.

$$

Ответ: $m_1 = 100$ кг, $S_1 = 0{,}01$ м$^2$, $m_2 = 75$ кг, $S_2 = 0{,}005$ м$^2$.