шишкина_семинар 11

Задача 6 Условие В цилиндре под поршнем находятся газы $X_2$ и $Y_2$ и соединение $X_2Y$. В системе протекает химическая реакция $2X_2 + Y_2 \leftrightarrow 2X_2Y$. В равновесном состоянии (когда скорости химической реакции в прямом и обратном направлениях равны) при давлении $p$ система занимала объем $V$, а количества веществ $X_2$, $Y_2$, и $X_2Y$ были равны $\nu_1$, $\nu_2$ и $\nu_3$ соответственно. Давление на систему изменили на малую величину $\Delta p$. Найдите изменения объема системы $\Delta V$ и количеств веществ $\Delta\nu_1$, $\Delta\nu_2$, $\Delta\nu_3$ после установления нового равновесия. Температура все время поддерживается постоянной. Примечание. Известно, что скорость химической реакции пропорциональна произведению концентраций $\nu_i/V$ реагирующих веществ. Соответственно скорости прямой и обратной реакций пропорциональны: $$ \left( \frac{\nu_1}{V} \right)^2 \left( \frac{\nu_2}{V} \right) \qquad и \qquad \left( \frac{\nu_3}{V} \right)^2. $$ Коэффициенты пропорциональности могут быть разными, но зависят только от температуры. Газы можно считать идеальными. Решение Пусть к моменту установления нового равновесного состояния в прямом направлении произошло на $N_A x$ реакций больше, чем в обратном, тогда $$ \Delta\nu_1 = -2x, \quad \Delta\nu_2 = -x, \quad \Delta\nu_3 = 2x, \tag{2} $$ $$ \Delta\nu = \Delta\nu_1 + \Delta\nu_2 + \Delta\nu_3 = -x. $$ Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для равновесных состояний: $$ pV = (\nu_1+\nu_2+\nu_3)RT, \qquad (p+\Delta p)(V+\Delta V) = (\nu_1+\nu_2+\nu_3-x)RT. $$ Решая эти уравнения с учетом малости изменений параметров, получим $$ \frac{\Delta p}{p} + \frac{\Delta V}{V} = -\frac{x}{\nu_1+\nu_2+\nu_3}. \tag{3} $$ Теперь выведем второе уравнение для нахождения $\Delta V/V$ и $x$. Величина $$ \frac{(\nu_1/V)^2(\nu_2/V)}{(\nu_3/V)^2} $$ пропорциональна отношению скоростей реакций и зависит только от температуры, следовательно, она одинакова в обоих равновесных состояниях: $$ \frac{\nu_1^2\nu_2}{\nu_3^2 V} = \frac{(\nu_1+\Delta\nu_1)^2(\nu_2+\Delta\nu_2)}{(\nu_3+\Delta\nu_3)^2(V+\Delta V)}, $$ откуда $$ \frac{\Delta V}{V} = 2\frac{\Delta\nu_1}{\nu_1} + \frac{\Delta\nu_2}{\nu_2} - 2\frac{\Delta\nu_3}{\nu_3}. $$ Используя уравнение (2), получим $$ \frac{\Delta V}{V} = -x\left( \frac{4}{\nu_1} + \frac{1}{\nu_2} + \frac{4}{\nu_3} \right). \tag{4} $$ Решая (3) и (4) совместно, найдем $$ x = \frac{\Delta p}{p}\left( \frac{4}{\nu_1} + \frac{1}{\nu_2} + \frac{4}{\nu_3} - \frac{1}{\nu_1+\nu_2+\nu_3} \right)^{-1}, $$ $$ \frac{\Delta V}{V} = -\frac{\Delta p}{p}\cdot \frac{\dfrac{4}{\nu_1}+\dfrac{1}{\nu_2}+\dfrac{4}{\nu_3}}{\dfrac{4}{\nu_1}+\dfrac{1}{\nu_2}+\dfrac{4}{\nu_3} - \dfrac{1}{\nu_1+\nu_2+\nu_3}}. $$ Зная $x$, из (2) можно найти $\Delta\nu_1$, $\Delta\nu_2$, $\Delta\nu_3$. Ответ: $$ \Delta\nu_1 = -2x, \quad \Delta\nu_2 = -x, \quad \Delta\nu_3 = 2x, \quad \Delta V = -xV\left( \frac{4}{\nu_1}+\frac{1}{\nu_2}+\frac{4}{\nu_3} \right), $$ где $$ x = \frac{\Delta p}{p}\left( \frac{4}{\nu_1}+\frac{1}{\nu_2}+\frac{4}{\nu_3} - \frac{1}{\nu_1+\nu_2+\nu_3} \right)^{-1}. $$