Влажность. Поверхностное натяжение.: Часть 3

Задача 4

Условие

В ванну положили соединенную в кольцо и смазанную вазелином тонкую нитку. Длина нитки L=1~м , при этом нить кольца не натянута. Внутрь и снаружи этого кольца налили чистую воду. Затем окунули палочку с ваткой в мыльный раствор и ненадолго положили внутрь кольца, пока нить не натянулась в идеальное кольцо. С какой силой F натянута нить?

Коэффициент поверхностного натяжения чистой воды при комнатной температуре \sigma равна 0{,}07~Дж/м^2 , мыльного раствора \sigma=0{,}03~Дж/м^2 .

Решение

Снаружи коэффициент поверхностного натяжения больше, поэтому контур растягивается. Выделим половину окружности. Результирующая распределенных поверхностных сил выражается через длину ее проекции — диаметр.

На концах выделенной полуокружности действуют две одинаковые силы натяжения нити. Они компенсируют разность результирующих от чистой воды и раствора:

2F = (\sigma_{water} - \sigma_{soap})d,\quad\quad d = \frac{L}{\pi},\quad\quad F = \frac{L(\sigma_{water} - \sigma_{soap})}{2\pi} \approx 6.4 \cdot 10^{- 3}\, N

Множитель два перед силой натяжения возникает из двух концов полуокружности. Здесь одна поверхность воды, а не свободная мыльная пленка с двумя сторонами.

Ответ

Сила натяжения нити F\approx6.4\cdot10^{-3}\,\text{Н} (около 6.4\,\text{мН} ).

Задача 5

Условие

Вода налита в сосуд, у строго вертикальных стенок которого образуется мениск. Насколько уровень жидкости в большом сосуде отличается от уровня жидкости на стенке сосуда? Плотность жидкости \rho , коэффициент поверхтностного натяжения \sigma , ускорение свободного падения g .

Решение

Из заданных величин получается характерная капиллярная длина. Рассмотрим участок мениска вдоль отрезка стены длиной L . Вертикальная поверхностная сила при нулевом угле смачивания уравновешивает вес поднятой воды.

Для высоты используем горизонтальный баланс. На высоте x давление в воде меньше атмосферного на \rho gx . Средний дефицит давления по высоте мениска равен \rho gh/2 и компенсируется горизонтальной поверхностной силой:

\ell_{c} = \sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}},\quad\quad\frac{m}{L} = \frac{\sigma}{g},\quad\quad\frac{\rho gh^{2}L}{2} = \sigma L,\quad\quad h = \sqrt{\frac{2\sigma}{\rho g}}

Следовательно, масса воды на единицу длины стены определяется вертикальным балансом, а высота — горизонтальным. Полный профиль мениска для этих двух результатов находить не требуется.

Ответ

h=\sqrt{\frac{2\sigma}{\rho g}}\approx3.74\,\text{мм} , \frac mL=\frac\sigma g=0.007\,\text{кг}/\text{м} (семь граммов воды на метр стены).