шишкина_семинар 10

Задача 4 Условие 2.36*. [11] (2000, 11–2) Газ с молярной массой $\mu = 60$ г/моль находится в герметичном сосуде с жёсткими стенками и поддерживается при постоянной температуре $T = 0\ ^\circ$C. Площадь поперечного сечения $S$ молекул, которые можно рассматривать как твёрдые шарики, равна $10^{-19}$ м$^2$. Давление газа в начале эксперимента равно $p_0 = 100$ Па. При освещении газа ультрафиолетовым светом молекулы, поглотившие квант света, переходят в возбуждённое состояние. Среднее время жизни молекулы в возбуждённом состоянии $\tau = 10^{-3}$ с. При столкновении двух возбуждённых молекул в газе происходит химическая реакция, в результате которой из них образуется одна новая молекула. Известно, что за 1 секунду в каждом кубическом сантиметре газа возбуждается $N = 10^{12}$ молекул. Оцените, за какое время давление в сосуде уменьшится на $\varepsilon = 1%$ от первоначального. Решение 2.36*. При указанных в условии задачи температуре, молярной массе и давлении молекулы движутся со средними скоростями $v \sim \sqrt{3RT/\mu} \approx 337$ м/с. Значит, за время своей жизни $\tau$ возбуждённая молекула пролетает расстояние $L = v\tau \approx 3{,}4\cdot 10^{-1}$ м. Объём, в котором летящая молекула может за это время столкнуться с другими молекулами, по порядку величины равен $V \approx 4LS$. Концентрация невозбуждённых молекул в сосуде перед началом освещения равна $$ n = \frac{p_0 N_A}{RT} \approx 2{,}7\cdot 10^{22} м^{-3}. $$ Концентрация же возбуждённых молекул составляет $$ n_{в} = \tau N\cdot 10^6 \approx 10^{15} м^{-3}. $$ Одна возбуждённая молекула за своё время жизни $\tau$ могла бы столкнуться с другими возбуждёнными молекулами $\nu_1$ раз, причём $\nu_1 = Vn_{в} = 4v\tau Sn_{в}$. Значит, всего за это время в одном кубическом метре происходит $$ \nu = \nu_1 n_{в}/2 = 2v\tau Sn_{в}^2 \approx 0{,}68\cdot 10^{11} м^{-3} $$ столкновений между возбуждёнными молекулами. Коэффициент $1/2$ появляется в последней формуле из-за того, что столкновения парные, то есть в каждом участвуют две молекулы. При каждом таком столкновении одна молекула исчезает, то есть скорость убывания концентрации $$ \beta = \frac{\nu}{\tau} = 2vSn_{в}^2 \approx 6{,}8\cdot 10^{13} \ \frac{1}{м^3\cdotс}. $$ Давление в сосуде уменьшится на $\varepsilon = 1%$ тогда, когда на такую же величину уменьшится концентрация молекул $n$. Это произойдёт через время $t = \varepsilon n/\beta$. С учётом полученных выше выражений для $n$, $n_{в}$, $\beta$ и $v$, окончательно находим: $$ t = \frac{\varepsilon n}{\beta} = \frac{\varepsilon \dfrac{p_0 N_A}{RT}}{2\sqrt{3RT/\mu}\cdot S\tau^2 N^2\cdot 10^{12}} = \frac{\varepsilon p_0 N_A \sqrt{\mu}}{2\cdot 10^{12}\cdot \tau^2 N^2 S\sqrt{3R^3T^3}} \approx 4\cdot 10^6 с \approx 46 суток. $$ Следует отметить, что ответ носит оценочный характер, то есть время вычислено по порядку величины. Это связано с тем, что в расчётах более правильно использовать не среднюю, а среднюю относительную скорость движения молекул. Однако ввиду того, что эти скорости отличаются друг от друга не очень сильно (примерно в 1 , 4 раза), полученную оценку можно считать вполне удовлетворительной. Ответ: $t \approx 4\cdot 10^6$ с $\approx 46$ суток. Задача 5 Условие (Всеросс., 1998, финал, 11). Теплоизолированный сосуд разделён на две части теплонепроницаемой перегородкой $A$. В перегородке $A$ и в одной из стенок $B$ имеется большое количество маленьких отверстий общей площадью $S$ в каждой. В первой части сосуда включили нагреватель мощности $N$ (рис.). Сосуд заполнен аргоном и помещён в атмосферу аргона. Внешнее давление $p_0$ и температура $T_0$ поддерживаются неизменными. Оцените установившиеся значения давлений ($p_1$ и $p_2$) и температур ($T_1$ и $T_2$) в обеих частях сосуда. Сделайте числовые оценки при $N = 20$ Вт, $S = 10$ мм$^2$, $p_0 = 10^5$ Па, $T_0 = 300$ К. Молярная масса аргона $\mu = 40\cdot 10^{-3}$ кг/моль; универсальная газовая постоянная $R = 8{,}3$ Дж/(моль$\cdot$К). Решение Среднеквадратичная скорость молекул в газе равна: $$ \vec{v} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}. \tag{1} $$ Число ударов молекул о стенку сосуда площадью $S$ за единицу времени: $$ \frac{dN}{dt} = \frac{1}{6}n\vec{v}S, \tag{2} $$ где $n$ – концентрация молекул. В установившемся режиме должно выполняться равенство потоков молекул сквозь перегородку $A$ (и стенку $B$). Тогда для перегородки $A$ имеем: $$ \frac{1}{6}n_1 \vec{v}_1 S = \frac{1}{6}n_2 \vec{v}_2 S, \tag{3} $$ для стенки $B$: $$ \frac{1}{6}n_2 \vec{v}_2 S = \frac{1}{6}n_0 \vec{v}_0 S. \tag{4} $$ Аналогично, мощность, переносимая молекулами, уходящими из части 1 сосуда сквозь поры перегородки, равна мощности $P$ нагревателя и мощности, переносимой молекулами, приходящими из части 2 сосуда: $$ \frac{d}{dt}\left( N_1 \frac{m\vec{v}_1^{\,2}}{2} \right) = \frac{1}{6}n_1 \vec{v}_1 S\cdot \frac{3}{2}kT_1 = P + \frac{1}{6}n_2 \vec{v}_2 S\cdot \frac{3}{2}kT_2. \tag{5} $$ Решая систему уравнений (3), (4), (5), (6), получим $$ p_1 = p_0\sqrt{\frac{T_1}{T_0}}, \quad p_2 = p_0\sqrt{\frac{T_2}{T_0}}, \quad T_2 = T_...