шишкина_семинар 10: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 4

Условие

2.36*. [11] (2000, 11–2) Газ с молярной массой $\mu = 60$ г/моль находится в герметичном сосуде с жёсткими стенками и поддерживается при постоянной температуре $T = 0\ ^\circ$C. Площадь поперечного сечения $S$ молекул, которые можно рассматривать как твёрдые шарики, равна $10^{-19}$ м$^2$. Давление газа в начале эксперимента равно $p_0 = 100$ Па. При освещении газа ультрафиолетовым светом молекулы, поглотившие квант света, переходят в возбуждённое состояние. Среднее время жизни молекулы в возбуждённом состоянии $\tau = 10^{-3}$ с. При столкновении двух возбуждённых молекул в газе происходит химическая реакция, в результате которой из них образуется одна новая молекула. Известно, что за 1 секунду в каждом кубическом сантиметре газа возбуждается $N = 10^{12}$ молекул. Оцените, за какое время давление в сосуде уменьшится на $\varepsilon = 1%$ от первоначального.

Решение

2.36*. При указанных в условии задачи температуре, молярной массе и давлении молекулы движутся со средними скоростями $v \sim \sqrt{3RT/\mu} \approx 337$ м/с. Значит, за время своей жизни $\tau$ возбуждённая молекула пролетает расстояние $L = v\tau \approx 3{,}4\cdot 10^{-1}$ м. Объём, в котором летящая молекула может за это время столкнуться с другими молекулами, по порядку величины равен $V \approx 4LS$. Концентрация невозбуждённых молекул в сосуде перед началом освещения равна $$

n = \frac{p_0 N_A}{RT} \approx 2{,}7\cdot 10^{22} м^{-3}.

$$ Концентрация же возбуждённых молекул составляет $$

n_{в} = \tau N\cdot 10^6 \approx 10^{15} м^{-3}.

$$ Одна возбуждённая молекула за своё время жизни $\tau$ могла бы столкнуться с другими возбуждёнными молекулами $\nu_1$ раз, причём $\nu_1 = Vn_{в} = 4v\tau Sn_{в}$. Значит, всего за это время в одном кубическом метре происходит $$

\nu = \nu_1 n_{в}/2 = 2v\tau Sn_{в}^2 \approx 0{,}68\cdot 10^{11} м^{-3}

$$ столкновений между возбуждёнными молекулами. Коэффициент $1/2$ появляется в последней формуле из-за того, что столкновения парные, то есть в каждом участвуют две молекулы. При каждом таком столкновении одна молекула исчезает, то есть скорость убывания концентрации $$

\beta = \frac{\nu}{\tau} = 2vSn_{в}^2 \approx 6{,}8\cdot 10^{13} \ \frac{1}{м^3\cdotс}.

$$ Давление в сосуде уменьшится на $\varepsilon = 1%$ тогда, когда на такую же величину уменьшится концентрация молекул $n$. Это произойдёт через время $t = \varepsilon n/\beta$. С учётом полученных выше выражений для $n$, $n_{в}$, $\beta$ и $v$, окончательно находим: $$

t = \frac{\varepsilon n}{\beta} = \frac{\varepsilon \dfrac{p_0 N_A}{RT}}{2\sqrt{3RT/\mu}\cdot S\tau^2 N^2\cdot 10^{12}} = \frac{\varepsilon p_0 N_A \sqrt{\mu}}{2\cdot 10^{12}\cdot \tau^2 N^2 S\sqrt{3R^3T^3}} \approx 4\cdot 10^6 с \approx 46 суток.

$$ Следует отметить, что ответ носит оценочный характер, то есть время вычислено по порядку величины. Это связано с тем, что в расчётах более правильно использовать не среднюю, а среднюю относительную скорость движения молекул. Однако ввиду того, что эти скорости отличаются друг от друга не очень сильно (примерно в 1,4 раза), полученную оценку можно считать вполне удовлетворительной.

Ответ: $t \approx 4\cdot 10^6$ с $\approx 46$ суток.

Задача 5

Условие

(Всеросс., 1998, финал, 11). Теплоизолированный сосуд разделён на две части теплонепроницаемой перегородкой $A$. В перегородке $A$ и в одной из стенок $B$ имеется большое количество маленьких отверстий общей площадью $S$ в каждой. В первой части сосуда включили нагреватель мощности $N$ (рис.). Сосуд заполнен аргоном и помещён в атмосферу аргона. Внешнее давление $p_0$ и температура $T_0$ поддерживаются неизменными. Оцените установившиеся значения давлений ($p_1$ и $p_2$) и температур ($T_1$ и $T_2$) в обеих частях сосуда. Сделайте числовые оценки при $N = 20$ Вт, $S = 10$ мм$^2$, $p_0 = 10^5$ Па, $T_0 = 300$ К. Молярная масса аргона $\mu = 40\cdot 10^{-3}$ кг/моль; универсальная газовая постоянная $R = 8{,}3$ Дж/(моль$\cdot$К).

task5

Решение

Среднеквадратичная скорость молекул в газе равна: $$

\vec{v} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}. \tag{1}

$$ Число ударов молекул о стенку сосуда площадью $S$ за единицу времени: $$

\frac{dN}{dt} = \frac{1}{6}n\vec{v}S, \tag{2}

$$ где $n$ – концентрация молекул. В установившемся режиме должно выполняться равенство потоков молекул сквозь перегородку $A$ (и стенку $B$). Тогда для перегородки $A$ имеем: $$

\frac{1}{6}n_1 \vec{v}_1 S = \frac{1}{6}n_2 \vec{v}_2 S, \tag{3}

$$ для стенки $B$: $$

\frac{1}{6}n_2 \vec{v}_2 S = \frac{1}{6}n_0 \vec{v}_0 S. \tag{4}

$$ Аналогично, мощность, переносимая молекулами, уходящими из части 1 сосуда сквозь поры перегородки, равна мощности $P$ нагревателя и мощности, переносимой молекулами, приходящими из части 2 сосуда: $$

\frac{d}{dt}\left( N_1 \frac{m\vec{v}_1^{\,2}}{2} \right) = \frac{1}{6}n_1 \vec{v}_1 S\cdot \frac{3}{2}kT_1 = P + \frac{1}{6}n_2 \vec{v}_2 S\cdot \frac{3}{2}kT_2. \tag{5}

$$ Решая систему уравнений (3), (4), (5), (6), получим $$

p_1 = p_0\sqrt{\frac{T_1}{T_0}}, \quad p_2 = p_0\sqrt{\frac{T_2}{T_0}}, \quad T_2 = T_0\left[ 1 + \frac{4P}{p_0 S}\sqrt{\frac{\mu}{3RT_0}} \right], \quad T_1 = 2T_2 - T_0.

$$ Подставив числовые значения, находим: $T_2 = 354$ К, $T_1 = 408$ К, $p_2 = 1{,}09\cdot 10^5$ Па, $p_1 = 1{,}36\cdot 10^5$ Па.

Ответ: $$

p_1 = 1{,}36\cdot 10^5 Па, \quad p_2 = 1{,}09\cdot 10^5 Па, \quad T_1 = 408 К, \quad T_2 = 354 К.

$$