Термодинамика в космосе. Газопровод.: Часть 2

Задача 4

Условие

Газопровод имеет следующие характеристики: внутренний диаметр D=1{,}153\,\text{м} , длина L=1224\,\text{км} , толщина стенки у входа \delta=41\,\text{мм} и у выхода 27\,\text{мм} , давления соответственно 22\,\text{МПа}\ \text{и}\ 10{,}5\,\text{МПа} . Названа мощность компрессоров 366\,\text{МВт} и прочность стали на разрыв 858\,\text{МПа} . Первый вопрос — оценить, с каким запасом стенка выдерживает входное давление.

Газ — метан \mathrm{CH}_4 с молярной массой 16\,\text{г/моль} . Температура около 273\,\mathrm K ; критические параметры p_c\approx4{,}64\,\text{МПа},\;T_c\approx190\,\mathrm K . Производительность двух одинаковых ниток — 55\cdot10^9\,\text{м}^3/\text{год} при нормальных условиях; нормальная плотность \rho_N=0{,}7\,\text{кг/м}^3 . Плотности на входе и выходе примите равными 200 и 90\,\text{кг/м}^3 . Для оценки сопротивления заданы размер выступа a=6\,\text{мкм} , средние \rho=150\,\text{кг/м}^3 и v=5\,\text{м/с} ; коэффициент сопротивления одного выступа обозначьте C_d .

Для одной нитки найдите: а) силовой коэффициент запаса стенки у входа; б) расход, скорости и кинетическую мощность; в) среднее сопротивление стенки и зависимость расстояния между выступами от C_d ; г) распределение давления, массу газа и его нормальный объём. Для последнего пункта используйте изотермическую модель p=k\rho , k=p_{\mathrm{вх}}/\rho_{\mathrm{вх}} , и квадратичное сопротивление.

Решение

а) Силовая оценка. Выберем метровый участок и разделим трубу вдоль оси на две половины. Давление раздвигает их силой pD\ell , а удерживают две полосы металла суммарной площадью 2\delta\ell .

F_{p} = pD\ell,\quad\quad F_{пред} = 2\delta\ell\sigma_{разр},\quad\quad n = \frac{2\delta\sigma_{разр}}{pD}

n = \frac{2 \cdot 0,041 \cdot 858}{22 \cdot 1,153} \approx 2,77

Это отношение сил в тонкостенной модели с пределом прочности на разрыв, а не полный нормативный расчёт трубопровода. Температура выше критической исключает разделение чистого метана на равновесные жидкую и газовую фазы, но не доказывает его идеальность.

б) Расход и скорость. Нормальный объём переводится в массу. Для одной нитки годовую производительность делим на два и на длительность года:

q_{N,1} = \frac{55 \cdot 10^{9}}{2 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600} \approx 872\ \text{м}^{3}/\text{с},\quad\quad\dot{m} = \rho_{N}q_{N,1}

Получается массовый расход около 610\,\text{кг/с} . При стационарном течении он одинаков во всех сечениях. Площадь S=\pi D^2/4\approx1{,}044\,\text{м}^2 даёт скорости около 2{,}92 и 6{,}50\,\text{м/с} . Кинетическая мощность выхода около 13\,\text{кВт} . Если грубо округлить сечение до 1 м² и расход до 620 кг/с, получаются 3,1 и 6,9 м/с и оценка:

\rho(x)Sv(x) = \dot{m} = const,\quad\quad P_{кин} = \frac{1}{2}\dot{m}v^{2} \approx 15\ \text{кВт}

Даже последняя величина намного меньше мощности компрессоров. Для полного энергетического баланса нужны работа сжатия, изменение состояния газа, теплообмен и характеристики оборудования; одна кинетическая энергия потока их не заменяет.

в) Сопротивление стенки. Пренебрегая малым изменением потока импульса, приравняем интегральное сопротивление силе перепада давления. Разделив её на внутреннюю боковую площадь, получим:

\tau \approx \frac{(p_{вх} - p_{вых})S}{\pi DL} \approx 3\ \text{Н/м}^{2}

Для одного выступа и поверхностной концентрации выступов n_s используем:

f_{1} \sim \frac{C_{d}}{2}\rho v^{2}a^{2},\quad\quad n_{s} \sim \frac{\tau}{f_{1}},\quad\quad h \sim \frac{1}{\sqrt{n_{s}}}

С указанными средними плотностью и скоростью при \tau\approx3\,\text{Па} получается n_s\sim4{,}4\cdot10^7/C_d\,\text{м}^{-2} и h\sim0{,}15\sqrt{C_d}\,\text{мм} . Без заданного C_d расстояние определяется только как модельная оценка, а не как измеренная характеристика стенки.

г) Давление и запас газа. На малом участке \Delta x число выступов равно n_s\pi D\Delta x . Точки схемы обозначают шероховатости стенки; подписанная на ней поверхностная концентрация N соответствует обозначению n_s в формулах.

Сила сопротивления участка пропорциональна \rho v^2\,dx . Из \rho v=\mathrm{const} и p=k\rho следует обратная пропорциональность этой силы давлению. Получаем p\,dp=-B\,dx ; постоянную найдём из граничных давлений:

p = k\rho,\quad\quad p\, dp = - B\, dx,\quad\quad B = \frac{p_{вх}^{2} - p_{вых}^{2}}{2L}

p(x) = \sqrt{p_{вх}^{2} - 2Bx},\quad\quad B \approx 0,153\ \text{МПа}^{2}/\text{км}

Линейно убывает квадрат давления. Плотность равна p(x)/k , а масса участка — dm=\rho S\,dx . Интегрируем по длине, согласовав единицы давления и длины:

M = \frac{S}{k}\int_{0}^{L}\sqrt{p_{вх}^{2} - 2Bx}\, dx = \frac{S}{3kB}(p_{вх}^{3} - p_{вых}^{3}),\quad\quad V_{N} = \frac{M}{\rho_{N}}

Подстановка k=22\cdot10^6/200\,\text{м}^2/\text{с}^2 , точной площади и длины даёт M\approx1{,}967\cdot10^8\,\text{кг} и V_N\approx2{,}810\cdot10^8\,\text{м}^3 для одной нитки в принятой модели.

Ответ

а) n\approx2{,}77 . б) \dot m\approx610\,\text{кг/с},\;v_{\mathrm{вх}}\approx2{,}92\,\text{м/с},\;v_{\mathrm{вых}}\approx6{,}50\,\text{м/с},\;P_{\mathrm{кин}}\approx13\,\text{кВт} ; грубая оценка — 15 кВт. в) \tau\approx3\,\text{Па},\;h\sim0{,}15\sqrt{C_d}\,\text{мм} . г) p(x)=\sqrt{p_{\mathrm{вх}}^2-2Bx} , B\approx0{,}153\,\text{МПа}^2/\text{км} , M\approx196{,}7\cdot10^6\,\text{кг} , V_N\approx281\cdot10^6\,\text{м}^3 . Последние величины относятся к изотермической модели p=k\rho .