Тепловые двигатели (цикл Карно). Связь микро- и макромира. Циклы.: Часть 2

Задача 3

Условие

Сравните скорость одной молекулы воды со слоном массой 3 тонны, который передвигается со скоростью 1~м/с . Оцените массу и размер молекулы. Температура среды Т=300~К .

Решение

Масса одной молекулы равна молярной массе воды, деленной на постоянную Авогадро. Массу слона переводим в килограммы:

m_{0} = \frac{M}{N_{A}} \approx \frac{0.018}{6 \cdot 10^{23}} = 3 \cdot 10^{- 26}\, kg,\quad\quad\frac{m_{e}}{m_{0}} \approx \frac{3 \cdot 10^{3}}{3 \cdot 10^{- 26}} = 10^{29}

Для оценки размера сопоставим молекуле объем при плотности жидкой воды. Аналогично заменим слона телом той же плотности. Это оценка масштаба, а не точных размеров или формы:

d \sim \left( \frac{m_{0}}{\rho} \right)^{1/3} \sim 3 \cdot 10^{- 10}\, m,\quad\quad L \sim \left( \frac{m_{e}}{\rho} \right)^{1/3} \sim 1\, m

Поступательная энергия молекулы определяется тремя степенями свободы. Среднеквадратичную скорость найдем из равенства средней кинетической энергии и тепловой энергии. Вращательное движение в эту формулу скорости не включаем:

\frac{1}{2}m_{0}\langle v^{2}\rangle = \frac{3}{2}kT,\quad\quad v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \approx 6.4 \cdot 10^{2}\, m/s

Газ в целом может покоиться: векторные скорости молекул в среднем компенсируются, хотя каждая частица движется быстро.

Ответ

Масса молекулы m_0\approx3\cdot10^{-26}\,\text{кг} , характерный размер d\sim3\cdot10^{-10}\,\text{м} , среднеквадратичная скорость v_{rms}\approx6.4\cdot10^2\,\text{м}/\text{с} . Она примерно в 640 раз больше заданной скорости слона. Отношение масс — порядка 10^{29} .

Задача 4

Условие

Конденсированная вода при температуре 4~^\circ\mathrm{C} перешла в состояние пара при 100~^\circ\mathrm{C} . Оцените отношение среднего расстояния между ближайшими молекулами в состоянии пара и в состоянии конденсации.

Решение

Сопоставим каждой молекуле кубическую ячейку со средним объемом на частицу. Это счетная модель, а не утверждение о наличии кубической решетки в жидкости или паре. Плотность пара найдем из уравнения идеального газа:

\rho_{v} = \frac{pM}{RT} \approx \frac{10^{5} \cdot 0.018}{8.31 \cdot 373} \approx 0.58\, kg/m^{3}

Масса молекулы в двух состояниях одинакова. Поэтому при делении плотностей она сокращается, а отношение расстояний равно кубическому корню из отношения плотностей:

\rho_{l} = \frac{m_{0}}{d^{3}},\quad\quad\rho_{v} = \frac{m_{0}}{a^{3}},\quad\quad\frac{a}{d} = \left( \frac{\rho_{l}}{\rho_{v}} \right)^{1/3} \approx 12

При испарении изменяется среднее расстояние между молекулами, а не размер самих молекул.

Ответ

В паре среднее расстояние между ближайшими молекулами примерно в 12 раз больше, чем в жидкости.

Задача 5

Условие

В некотором сосуде находился азот и его давление было 1{,}5 атм, начальная температура 290~К . Его разогрели до 350~К . Часть молекул покинуло сосуд и давление стало 1 атм. Объем сосуда 10~л . Сколько молекул покинуло сосуд?

Решение

При сохранении числа частиц нагревание повысило бы давление. Здесь давление снизилось, поэтому число молекул уменьшилось. Для каждого состояния выразим его через уравнение идеального газа и вычтем конечное значение из начального:

N = \frac{N_{A}pV}{RT},\quad\quad\Delta N = \frac{N_{A}V}{R}\left( \frac{p_{i}}{T_{i}} - \frac{p_{f}}{T_{f}} \right)

Для численной оценки примем 1\,\text{атм}\approx10^5\,\text{Па} и переведем объем в кубические метры:

\Delta N \approx \frac{6 \cdot 10^{23} \cdot 10^{- 2}}{8.31}\left( \frac{1.5 \cdot 10^{5}}{290} - \frac{10^{5}}{350} \right) \approx 1.67 \cdot 10^{23}

Это число молекул, а не количество вещества в молях. Скорость истечения и длительность нагревания для вычисления разности состояний не нужны.

Ответ

Сосуд покинуло примерно \Delta N=1.67\cdot10^{23} молекул.