Механизмы теплопередачи и тепловое излучение.: Часть 2

Механизм излучения

Продолжим обсуждение механизмов передачи тепловой энергии, сосредоточившись на механизме излучения. Этот механизм играет важную роль в различных физических процессах, включая передачу тепла от Солнца к Земле и работу космических аппаратов.

Закон Стефана-Больцмана

Закон Стефана-Больцмана описывает мощность теплового излучения абсолютно чёрного тела. Формулировка закона следующая:

Если тело является абсолютно чёрным и находится в окружении с температурой, близкой к абсолютному нулю, то мощность излучения P зависит от площади поверхности тела S и его температуры T:

Тепловое излучение распространяется от поверхности тела во все стороны.

P = \sigma ST^{4}

где σ — постоянная Стефана-Больцмана, равная 5{,}67\cdot10^{-8}\,\text{Вт}/(\text{м}^2\cdot\text{К}^4) ; S — площадь поверхности тела; T — абсолютная температура тела в кельвинах.

Абсолютно чёрное тело

Абсолютно чёрное тело поглощает всё падающее излучение независимо от длины волны и интенсивности, но само испускает тепловое излучение. Солнце приближённо можно рассматривать как такое тело; его излучение охватывает широкий диапазон длин волн, включая видимый свет.

Видимая область спектра занимает приблизительно 0{,}4\text{–}0{,}8\,\text{мкм} . Спектральная мощность показывает, какая мощность приходится на узкий интервал длин волн. У солнечного спектра максимум лежит в видимой области, около \lambda_{\max}\approx550\,\text{нм} . Это не означает, что Солнце излучает только на этой длине волны.

Схематический спектр теплового излучения с максимумом около 550 нм.

Если тело не является абсолютно чёрным, то его излучательная способность уменьшается. В этом случае вводится коэффициент нечерноты β, который показывает, насколько меньше излучает тело по сравнению с абсолютно чёрным телом. Например, для вольфрамовой спирали лампы накаливания β ≈ 0.3.

В приближении постоянного коэффициента излучения мощность равна P=\beta\sigma ST^4 . Для нагретой вольфрамовой нити при температуре около 3000 К в этой оценке принимаем \beta\approx0{,}3 .

Задача о космическом аппарате

Рассмотрим задачу, связанную с космическим аппаратом, который находится в далёком космосе. Аппарат имеет внутренний источник энергии, но его температура должна поддерживаться на определённом уровне. Для этого используются слои изоляции, которые уменьшают потери тепла.

Внутренний источник аппарата имеет постоянную мощность P_0 . Без экранов равновесная температура абсолютно чёрного аппарата была бы T_*=100\,\text{К} , то есть P_0=\sigma ST_*^4 . Требуется повысить температуру аппарата до T_0=270\,\text{К} с помощью N тонких экранов. Температурой окружающего космоса пренебрегаем.

Решение

Экраны разделены вакуумными промежутками. Их общая толщина мала по сравнению с размером аппарата, поэтому площади всех оболочек считаем одинаковыми. Каждый экран считаем абсолютно чёрным с обеих сторон; теплопроводностью креплений пренебрегаем.

Радиационные экраны обмениваются излучением с соседними поверхностями; температуры экранов устанавливаются из теплового баланса.

Обозначим температуры экранов T_1,\ldots,T_N . В установившемся режиме через каждый промежуток проходит одна и та же результирующая мощность P_0 . Экран излучает в обе стороны, поэтому часть энергии возвращается к более тёплой внутренней поверхности:

P_0=\sigma S(T_{i-1}^4-T_i^4),\qquad i=1,\ldots,N

Внешний экран отдаёт энергию в холодный космос. Из условия P_0=\sigma ST_N^4=\sigma ST_*^4 следует T_N=T_*=100\,\text{К} . Таким образом, 100 К — температура внешнего экрана, а не окружающего пространства.

Сложим уравнения для всех N промежутков. Промежуточные температуры сократятся:

NP_0=\sigma S(T_0^4-T_N^4)=\sigma S(T_0^4-T_*^4)

Подставим мощность внешнего излучения и сократим общий множитель \sigma S :

(N+1)T_*^4=T_0^4,\qquad T_0=T_*(N+1)^{1/4}

При N=0 получаем исходную температуру T_0=T_* . Для заданных температур:

N=\left(\frac{T_0}{T_*}\right)^4-1=\left(\frac{270}{100}\right)^4-1\approx52{,}14

Требуется примерно 52 экрана; если температура должна быть не ниже 270 К, минимальное целое число экранов в этой модели — 53.

Тот же принцип действует при хранении жидкого гелия: тепло из окружающей среды проникает через вакуум излучением. Многослойная изоляция из тонкой алюминированной плёнки уменьшает этот поток. Плёнка хорошо отражает излучение и имеет меньшую излучательную способность, чем чёрные экраны в рассмотренной модели.

4. Механизмы передачи теплоты в бане

Рассмотрим бани как примеры разных механизмов теплопередачи. В каждом примере выделяем характерный механизм, хотя в реальных условиях несколько механизмов действуют одновременно.

Финская баня

В финской бане воздух очень сухой, и стенки прогреты до температуры около 100∘C (или 373 K). Теплота передается за счет инфракрасного излучения, которое хорошо поглощается человеческим телом, состоящим в основном из воды.

Русская баня

В русской бане раскаляются камни в печи. При добавлении воды на камни образуется пар, который быстро заполняет помещение. Пар конденсируется на поверхности человеческого тела, передавая ему большое количество теплоты.

Турецкая баня

В турецкой бане температура составляет около 40∘C, и используется водяной туман. Теплота передается за счет теплопроводности, когда человек лежит на каменной скамье.

Рассмотрим модельную задачу о финской бане. Температура стенок составляет 100 °C (373 К), а начальная температура тела — 37 °C (310 К). Оценим время нагревания на 2 К только за счёт излучения.

Считаем стенки и поверхность тела абсолютно чёрными в рассматриваемом инфракрасном диапазоне. Тело не только поглощает излучение стенок, но и излучает само; поэтому результирующая мощность определяется разностью четвёртых степеней температур. В течение небольшого нагрева эту мощность будем считать постоянной.

Решение

Используем закон Стефана-Больцмана для расчета мощности излучения:

P = \sigma S\left( T_{\text{стенок}}^{4} - T_{\text{тела}}^{4} \right)

где \sigma=5{,}67\cdot10^{-8}\,\text{Вт}/(\text{м}^2\cdot\text{К}^4) — постоянная Стефана-Больцмана; S – площадь поверхности человеческого тела; T_{\text{стенок}}=373\,\text{К} ; T_{\text{тела}} = 310 K. Площадь поверхности человеческого тела можно оценить как 1{,}5\,\text{м}^2 . Масса человека — 80 кг, удельная теплоемкость воды — 4200 Дж/кг⋅К.

Оценим площадь боковой поверхности цилиндра высотой H=1{,}5\,\text{м} и диаметром D=0{,}30\,\text{м} : S=\pi DH\approx1{,}4\,\text{м}^2\approx1{,}5\,\text{м}^2 . Перенос тепла кровью позволяет в этой модели считать нагревающейся всю массу тела. Тогда P\Delta t=Mc\Delta T , где \Delta T=2\,\text{К} , а \Delta t — время.

Геометрическая модель для оценки площади поверхности: цилиндр высотой 1,5 м и диаметром 30 см.

Изменение температуры тела:

\Delta t = \frac{Mc\Delta T}{P}

Подставим значения:

\Delta t = \frac{80*4200*2}{5.67*10^{- 8}*1.5*(373^{4} - 310^{4})} \approx 780\text{с} \approx 13\text{мин}

Получено время нагрева модели тела на 2 К при учёте только излучения. При расчёте приняты постоянная теплоёмкость и постоянная результирующая мощность; потоотделение, испарение и конвекция не учитывались.