Термодинамика излучения. Тепловые двигатели.: Часть 2

Задача 6

Условие

Капли двух разных жидкостей лежат на горизонтальной поверхности и совсем её не смачивают. Их формы геометрически подобны: отношения высот, диаметров и соответствующих радиусов кривизны одинаковы. Известны плотности \rho_1 , \rho_2 и коэффициенты поверхностного натяжения \sigma_1 , \sigma_2 . Ускорение свободного падения общее. Требуется найти отношение масс капель.

Для примера можно рассмотреть воду с плотностью 1\ \text{г}/\text{см}^3 и поверхностным натяжением 0{,}07\ \text{Дж}/\text{м}^2 , а также ртуть с плотностью 13{,}6\ \text{г}/\text{см}^3 и поверхностным натяжением 0{,}4\ \text{Дж}/\text{м}^2 . Ответ требуется выразить через свойства двух жидкостей.

Решение

Форма определяется конкуренцией поверхностного натяжения и тяжести. Характерный линейный размер пропорционален капиллярной длине. У геометрически подобных капель коэффициент пропорциональности одинаков, поэтому в отношении диаметров он сокращается.

\ell_{c} = \sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}},\quad\quad\frac{d_{1}}{d_{2}} = \sqrt{\frac{\sigma_{1}\rho_{2}}{\sigma_{2}\rho_{1}}}

Объёмы подобных тел относятся как кубы линейных размеров. Чтобы перейти к массам, умножим отношение объёмов на отношение плотностей. После сокращения степеней плотности получаем общий результат. Порядок индексов сохраняем: в числителе стоит масса первой капли.

Ответ

\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}\left( \frac{d_{1}}{d_{2}} \right)^{3} = \sqrt{\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}}\left( \frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}} \right)^{3/2}

Отношение масс определяется поверхностными натяжениями в степени три вторых и обратным квадратным корнем из отношения плотностей, как указано в формуле.

Задача 7

Условие

Однородная тонкая трубка длиной 1\,\text{м} лежит горизонтально, оба конца открыты. К одному концу подведена жидкость, хорошо смачивающая стенки, например чернила. К моменту начала отсчёта жидкость заполнила 10\,\text{см} трубки, а скорость её границы равна 1\,\frac{\text{мм}}{\text{с}} . Найти время заполнения оставшейся части.

Решение

Предполагаем установившееся ламинарное течение, постоянное смачивание и малую роль инерции. Капиллярная сила в однородной трубке постоянна. Вязкое сопротивление пропорционально длине заполненного участка и средней скорости потока. На оси скорость больше, чем у стенок; скорость мениска соответствует средней скорости потока.

F_{\sigma} = \pi d\sigma,\quad\quad F_{visc} \propto xv,\quad\quad xv = C

В приближении медленного движения силы уравновешиваются. Поэтому произведение длины заполненного участка на скорость его границы остаётся постоянным. Чем дальше продвинулся мениск, тем медленнее он движется.

C = x_{0}v_{0} = 0,1 \cdot 10^{- 3} = 10^{- 4}\ m^{2}/s

Вычислим постоянную по начальным данным в СИ. Подставим производную координаты по времени вместо скорости и разделим переменные. Интегрируем от уже заполненных десяти сантиметров до полной длины трубки: отсчёт времени начинается после заполнения первого участка. Вязкость и диаметр отдельно находить не требуется — их влияние учтено начальной измеренной скоростью.

Ответ

x\, dx = C\, dt,\quad t = \frac{L^{2} - x_{0}^{2}}{2C} = \frac{1 - 0,01}{2 \cdot 10^{- 4}} = 4950\ s

До полного заполнения остаётся 4950\ \text{с} , то есть 82{,}5\ \text{мин} (около 1{,}4\ \text{ч} ).

Задача 8

Условие

Лёгкое тонкое жёсткое кольцо радиуса R лежит на поверхности жидкости и полностью ею смачивается. Его медленно поднимают за нити. Во втором варианте вместо кольца используется невесомый сплошной диск того же радиуса. Известны поверхностное натяжение \sigma и плотность жидкости \rho . Найти силы, необходимые для отрыва, и объяснить различие.

Дополнительно оцените относительную роль краевого и площадного вкладов для радиуса 10\ \text{см} , плотности 1000\ \text{кг}/\text{м}^3 и поверхностного натяжения 0{,}035\ \text{Дж}/\text{м}^2 .

Решение

Поднимаем тело медленно, пренебрегая его собственным весом. В предельном положении поверхность подходит к тонкой проволоке вертикально. Для одностороннего мениска длины l вертикальная сила натяжения \sigma l уравновешивает вес поднятой жидкости. У тонкого кольца два края — внутренний и внешний.

\frac{m_{men}}{l} = \frac{\sigma}{g},\quad\quad F_{ring} = 2(2\pi R)\sigma = 4\pi R\sigma

Для кольца суммируем вклад двух менисков по окружности. Получается сила, пропорциональная удвоенной длине окружности.

\sigma l = \int_{0}^{h}\rho gz\, l\, dz = \frac{1}{2}\rho glh^{2},\quad\quad h = \sqrt{\frac{2\sigma}{\rho g}}

У диска добавляется жидкость под всей его площадью. Найдём высоту её подъёма. На высоте z давление меньше атмосферного на \rho gz . В локально плоской модели мениска проинтегрируем этот дефицит по вертикальному сечению и уравновесим горизонтальной силой поверхностного натяжения.

Сила для диска складывается из краевого натяжения и веса поднятого столба жидкости. При R=0{,}1\ \text{м} , \rho=1000\ \text{кг}/\text{м}^3 , \sigma=0{,}035\ \text{Дж}/\text{м}^2 и g\simeq10\ \text{м}/\text{с}^2 краевой вклад около 0{,}022\ \text{Н} , а площадной — около 0{,}83\ \text{Н} . Формула использует краевой мениск, кривизной которого вдоль периметра пренебрегают; для очень малого диска это приближение требует отдельного рассмотрения.

Ответ

F_{disk} = 2\pi R\sigma + \rho g\pi R^{2}h = 2\pi R\sigma + \pi R^{2}\sqrt{2\sigma\rho g}

Для тонкого кольца F_{\text{кольцо}}=4\pi R\sigma . Для диска действует приведённая сумма краевого и площадного вкладов. В численном примере сила для диска около 0{,}85\ \text{Н} ; основную часть даёт поднятый под диском столб жидкости.