Термодинамика излучения. Тепловые двигатели.: Часть 4

Задача 9

Условие

Газ в длинной трубе имеет начальную температуру около 300\,\text{К} и очень малое давление p_0 порядка 10^{-9}\,\text{Па} . Начальная длина занятого участка около 1\,\text{м} , площадь сечения порядка 1\,\text{м}^2 . Один торец закрыт, второй ограничен подвижным поршнем. За время порядка 10\,\text{с} длину увеличивают до 10\,\text{м} . Требуется сравнить давления на боковые стенки и торцы до установления нового теплового равновесия.

Стенки идеально гладкие и теплоизолирующие, столкновения с ними упругие. Газ первоначально равновесен. За время расширения столкновения молекул друг с другом не успевают выровнять энергию по направлениям. Скорость поршня мала по сравнению со скоростями молекул.

Решение

До расширения газ равновесен, но во время движения поршня межмолекулярными столкновениями пренебрегаем. Гладкие неподвижные боковые стенки сохраняют модули поперечных компонент скорости. При увеличении объёма в десять раз концентрация уменьшается в десять раз; вместе с ней уменьшается давление на боковые стенки.

p_{\perp} = nm\langle v_{\perp}^{2}\rangle,\quad\quad p_{\perp ,f} = \frac{p_{0}}{10}

Удаляющийся поршень отнимает энергию только у продольного движения. Для вывода используем трёхнаправленную модель: треть молекул движется вдоль оси, половина из них — к данному торцу. Число ударов пропорционально концентрации и скорости, а импульс одного удара в приближении медленного поршня равен 2mv_x .

p_{x} = \frac{Nmv_{x}^{2}}{3Sx},\quad\quad E_{x} = \frac{Nmv_{x}^{2}}{6},\quad\quad p_{x}S\, dx = - dE_{x}

Работа над поршнем совершается за счёт энергии продольного движения. Из баланса работы и убыли этой энергии получаем дифференциальную связь длины и продольной скорости. После интегрирования их произведение сохраняется.

\frac{dx}{x} = - \frac{1}{2}\frac{d(v_{x}^{2})}{v_{x}^{2}}\quad \Rightarrow \quad xv_{x} = const

При десятикратном увеличении длины продольная скорость уменьшается в десять раз. Торцевое давление пропорционально концентрации и квадрату продольной скорости, поэтому падает в тысячу раз. Такой результат относится к неравновесному состоянию до межмолекулярной релаксации. Равновесная адиабата здесь неприменима; одновременно требуется, чтобы поршень двигался медленно по сравнению с молекулами.

Ответ

p_{x} \propto \frac{v_{x}^{2}}{x} \propto x^{- 3},\quad\quad p_{x,f} = \frac{p_{0}}{1000}

Давление на боковые стенки равно p_0/10 , на торцы — p_0/1000 . Давления различаются до установления нового теплового равновесия.

Задача 10

Условие

Мыльный пузырь первоначального диаметра 10\,\text{см} соединён с атмосферой длинной тонкой трубкой. После прекращения вдувания воздух выходит наружу. За 5 минут объём воздуха в пузыре уменьшается в 8 раз, а диаметр — до 5\,\text{см} . Требуется оценить полное время исчезновения пузыря в принятой модели. Поверхностное натяжение принимается около 0{,}03\,\frac{\text{Дж}}{\text{м}^2} , атмосферное давление — порядка 10^5\,\text{Па} .

Решение

В мыльной плёнке две поверхности, поэтому избыточное давление равно 4\sigma/r . При диаметре 5\ \text{см} оно составляет 4{,}8\ \text{Па} , значительно меньше атмосферного. В рассматриваемом диапазоне размеров пренебрегаем относительным изменением плотности воздуха.

\Delta p = \frac{4\sigma}{r},\quad\quad Q = K\Delta p = \frac{C}{r}

При вязком течении через неизменную трубку объёмный расход пропорционален перепаду давления, а значит обратно пропорционален радиусу пузыря. Приравняем этот расход убыли объёма шара. Получим уравнение для четвёртой степени радиуса.

- \frac{d}{dt}\left( \frac{4}{3}\pi r^{3} \right) = \frac{C}{r}\quad \Rightarrow \quad\frac{d(r^{4})}{dt} = - \frac{C}{\pi} = - a

За пять минут радиус уменьшился вдвое, следовательно, его четвёртая степень уменьшилась в шестнадцать раз. За это время израсходовано пятнадцать шестнадцатых первоначального запаса этой величины. В выбранной модели четвёртая степень радиуса убывает линейно, что позволяет найти полное время.

r^{4}(t) = r_{0}^{4} - at,\quad\quad 5\ min = \frac{15r_{0}^{4}}{16a}

Подстановка нулевого радиуса является формальным продолжением модели. В самом конце сдувания условие малого избыточного давления и сохранение целой плёнки могут нарушиться, поэтому найденное время — модельная оценка, а не точный срок разрыва реальной плёнки.

Ответ

t_{full} = \frac{r_{0}^{4}}{a} = \frac{16}{15} \cdot 5\ min = 320\ s

Полное модельное время сдувания — 320\ \text{с} (5 минут 20 секунд); после первых пяти минут остаётся 20\ \text{с} .