Термодинамика излучения. Тепловые двигатели.: Часть 3

Задача 8

Условие

Однородная тонкая трубка длиной 1\,\text{м} лежит горизонтально, оба конца открыты. К одному концу подведена жидкость, хорошо смачивающая стенки, например чернила. К моменту начала отсчёта жидкость заполнила 10\,\text{см} трубки, а скорость её границы равна 1\,\frac{\text{мм}}{\text{с}} . Найти время заполнения оставшейся части.

Решение

Предполагаем установившееся ламинарное течение, постоянное смачивание и малую роль инерции. Капиллярная сила в однородной трубке постоянна. Вязкое сопротивление пропорционально длине заполненного участка и средней скорости потока. На оси скорость больше, чем у стенок; скорость мениска соответствует средней скорости потока.

F_{\sigma} = \pi d\sigma,\quad\quad F_{visc} \propto xv,\quad\quad xv = C

В приближении медленного движения силы уравновешиваются. Поэтому произведение длины заполненного участка на скорость его границы остаётся постоянным. Чем дальше продвинулся мениск, тем медленнее он движется.

C = x_{0}v_{0} = 0,1 \cdot 10^{- 3} = 10^{- 4}\ m^{2}/s

Вычислим постоянную по начальным данным в СИ. Подставим производную координаты по времени вместо скорости и разделим переменные. Интегрируем от уже заполненных десяти сантиметров до полной длины трубки: отсчёт времени начинается после заполнения первого участка. Вязкость и диаметр отдельно находить не требуется — их влияние учтено начальной измеренной скоростью.

Ответ

x\, dx = C\, dt,\quad t = \frac{L^{2} - x_{0}^{2}}{2C} = \frac{1 - 0,01}{2 \cdot 10^{- 4}} = 4950\ s

До полного заполнения остаётся 4950\ \text{с} , то есть 82{,}5\ \text{мин} (около 1{,}4\ \text{ч} ).