Логарифм как новая переменная: Часть 5
Математика, 10 класс
Задача 2.5. Условие Решите неравенство: \log_{x+2}^2\left( x-18 \right) ^2+32\leqslant 16 \log_{x+2}\left( 36+16x-x^2 \right). Решение ОДЗ: \left\{ \begin{array}{lll} x+2>0,\\ x+2\neq 1,\\ x\neq 18,\\...
Видео
Конспект
Задача 2.5.
Условие
Решите неравенство: \log_{x+2}^2\left( x-18 \right) ^2+32\leqslant 16 \log_{x+2}\left( 36+16x-x^2 \right). Решение
ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
x+2>0,\\
x+2\neq 1,\\
x\neq 18,\\
36+16x-x^2>0,
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow\ \
x \in \left( -2;-1 \right) \cup \left( -1;18 \right). Преобразуем исходное неравенство: 4\log_{x+2}^2 \left( 18-x \right) + 32 \leqslant 16 \left( \log_{x+2}\left( x+2 \right) + \log_{x+2}\left( 18-x \right) \right). Введем замену \log_{x+2}\left( 18-x \right) = z. Тогда неравенство принимает вид 4z^2+32 \leqslant 16+16z, z^2-4z+4\leqslant 0, \left( z-2 \right) ^2 \leqslant 0. Это неравенство вырождается в равенство: z-2=0. Итак, z=2 . Обратная замена дает следующее логарифмическое уравнение \log_{x+2}\left( 18-z \right) = 2. Потенцируем: 18-x=\left( x+2 \right) ^2, x^2+4x+4 = 18-x, x^2+5x-14=0, \left( x+7 \right) \left( x-2 \right) = 0. Заметим, что корень x=-7 не входит в ОДЗ.
Ответ x=2 .