Логарифмические неравенства часть 1: Часть 1

Видео

Конспект

Логарифмические неравенства

Простейшие неравенства

Простейшее логарифмическое неравенство имеет следующий общий вид \log_a f(x) \geqslant \log_a g(x). Здесь основание логарифма будет сильно влиять на ход решения (в отличие от случая логарифмических уравнений). Это связано с тем, что при решении логарифмических неравенств мы будем опираться на монотонность логарифмических функций. Характер монотонности зависит от основания. Если a>1 , то логарифмическая функция монотонно возрастает . Если же 0<a<1 , то логарифмическая функция монотонно убывает.

8 График функций \log_az для a>1 и 0<a<1

Учитывая свойство монотонности и ОДЗ, можно упростить исходное логарифмическое неравенство: \left[

\begin{array}{lll}

\left\{

\begin{array}{lll}

a>1,\\

f(x)\geqslant g(x),\\

g(x) >0,

\end{array}\right. \\

\left\{

\begin{array}{lll}

0<a<1,\\

f(x)\leqslant g(x),\\

f(x)>0.

\end{array}\right.

\end{array}\right.

Задача 1.1.

Условие

Решите неравенство: \log_{0.5} \left( \frac{x+2}{x-3} \right) > 2.

Решение

ОДЗ: \frac{x+2}{x-3}>0\ \ \Leftrightarrow\ \ x \in \left( -\infty;-2 \right) \cup \left( 3;+\infty \right). Представим правую часть неравенства через логарифм по основанию 0.5 : \log_{0.5} \left( \frac{x+2}{x-3} \right) > \log_{0.5}\left( 0.5 \right)^2. Теперь произведем потенцирование данного неравенства, учитывая, что основание логарифма меньше 1 : \frac{x+2}{x-3}<\frac{1}{4}. Приведем неравенство к общему знаменателю: \frac{4\left( x+2 \right)}{4\left( x-3 \right)} - \frac{1}{4} \frac{(x-3)}{(x-3)}<0, \frac{3x+11}{4\left( x-3 \right)}<0. Решение методом интервалов дает ответ x \in \left( -\frac{11}{3};3 \right) . После учета ОДЗ получаем x \in \left( -\frac{11}{3};-2 \right) .

Ответ x \in \left( -\frac{11}{3};-2 \right) .