Логарифмические неравенства часть 1: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 1.3.

Условие

Решите неравенство: \log_3\left( x^2-9 \right) - 3 \log_3 \frac{x-3}{x+3}\geqslant 2.

Решение

ОДЗ \left\{

\begin{array}{lll}

x^2 - 9>0,\\

\frac{x-3}{x+3}>0,

\end{array}\right.

\ \ \Leftrightarrow\ \

\left\{

\begin{array}{lll}

\left( x-3 \right) \left( x+3 \right) >0,\\

\frac{x-3}{x+3}>0,

\end{array}\right.

\ \ \Leftrightarrow\ \ x \in \left( -\infty;-3 \right) \cup \left( 3;+\infty \right). Воспользуемся формулами для логарифма произведения \backslash частного и преобразуем левую часть неравенства (это эквивалентное на ОДЗ преобразование): \log_3\left| x - 3 \right| + \log_3 \left|x+3 \right| - 3\log_3 \left| x-3 \right| + 3\log_3 \left| x+3 \right| \geqslant 2. Приведем подобные: 4 \log_3 \left| x+3 \right| - 2\log_3 \left| x-3 \right| \geqslant 2. Разделим полученное неравенство на 2 и внесем множитель 2 в степень аргумента логарифма: \log_3 \left| x+3 \right|^2 \geqslant 1 + \log_3 \left| x-3 \right|. Воспользуемся формулой для логарифма произведения и преобразуем правую часть неравенства: \log_3 \left( x+3 \right)^2 \geqslant \log_3 3\left| x-3 \right|. Теперь мы можем потенциировать неравенство, не изменяя его знак (так как основание логарифма больше 1 ): \left( x+3 \right)^2 \geqslant 3 \left| x-3 \right|. Раскроем модуль. Пусть x>3 : \left( x+3 \right) ^2 \geqslant 3x-9, x^2+6x+9 \geqslant 3x-9, x^2+3x+18 \geqslant 0. Отметим, что в левой части неравенства находится квадратичное выражение, дискриминант которого отрицателен. Значит, решением данного уравнения является любое число на числовой прямой.

Пусть теперь x<3 . Отметим, что на ОДЗ это условие реализуется при x< -3 . Раскроем модуль: \left( x+3 \right) ^2 \geqslant 3 \left( 3-x \right), x^2+6x+9 \geqslant 9-3x, x^2+9x\geqslant 0. Решение методом интервалов дает x \in \left( -\infty;-9 \right] \cup \left[ 0;+\infty \right) . По условию рассматриваемого случая и ОДЗ, x< -3 . Таким образом, x \in \left( -\infty;-9 \right] .

Ответ x \in \left( -\infty;-9 \right] \cup \left( 3;+\infty \right) .

Задача 1.4.

Условие

Решите неравенство: \log_3 \left( x^2-9 \right) - 3\log_3 \frac{x-3}{x+3}\geqslant 2.

Решение

Решим предыдущую задачу другим способом.

ОДЗ: x \in \left( -\infty;-3 \right) \cup \left( 3;+\infty \right) .

Внесем множитель 3 в аргумент логарифма в качестве степени: \log_3 \left( x^2-9 \right) - \log_3 \left( \frac{x-3}{x+3} \right)^3 \geqslant 2. Воспользуемся формулой для логарифма частного и преобразуем левую часть неравенства (это эквивалентное на ОДЗ преобразование): \log_3 \frac{\left( x^2-9 \right) \left( x+3 \right) ^3}{\left( x-3 \right) ^3} \geqslant 2, \log_3 \frac{\left( x+3 \right) ^4}{\left( x-3 \right) ^2} \geqslant \log_3 9. Потенцируем: \frac{\left( x+3 \right) ^4}{\left( x-3 \right)^2} \geqslant 9. Умножим правую и левую части неравенства на \left( x-3 \right)^2 (равносильный на ОДЗ переход): \left( x+3 \right) ^4 \geqslant 9\cdot \left( x-3 \right) ^2, \left( x+3 \right) ^4 - 9\cdot \left( x-3 \right) ^2 \geqslant 0, \left( \left( x+3 \right) ^2-3\left( x-3 \right) \right) \left( \left( x+3 \right) ^2 + 3\left( x-3 \right) \right) \geqslant 0, \left( x^2+3x+18 \right) \left( x^2+9x \right) \geqslant 0. Решение методом интервалов дает x \in \left( -\infty;-9 \right] \cup \left( 3;+\infty \right) .

Ответ x \in \left( -\infty;-9 \right] \cup \left( 3;+\infty \right) .