Замена оснований логарифмов Часть 1: Часть 1
Математика, 10 класс
Замена оснований логарифмов Некоторые примеры логарифмических неравенств Задача 3.1. Условие Решите неравенство: \frac{1}{2}\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}}\left( x+2 \right) - 2\log_{49}\left( x+8 \right) >...
Видео
Конспект
Замена оснований логарифмов
Некоторые примеры логарифмических неравенств
Задача 3.1.
Условие
Решите неравенство: \frac{1}{2}\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}}\left( x+2 \right) - 2\log_{49}\left( x+8 \right) > -2. Решение
ОДЗ: x>-2 .
Перейдем к одному основанию для всех логарифмов: \frac{1}{2}:\left( -\frac{1}{2} \right) \log_7\left( x+2 \right) -2 \frac{\log_7\left( x+8 \right)}{\log_7 7^2}>-2, \log_7 \left( x+2 \right) + \log_7 \left( x+8 \right) < 2. Перейдем от суммы логарифмов к логарифму произведения (этот переход равносилен на ОДЗ): \left\{
\begin{array}{lll}
\log_7 \left( x+2 \right) \left( x+8 \right) < 2,\\
x+2>0.
\end{array}\right. Потенцируем: \left\{
\begin{array}{lll}
\left( x+2 \right) \left( x+8 \right) < 49,\\
x+2>0,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
x^2+10x+16<49,\\
x> -2,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
x^2+10x-33< 0,\\
x> -2.
\end{array}\right. Найдем корни квадратного трехчлена: x_{1,2} = -5\pm \sqrt{25+33} = -5 \pm \sqrt{58}. Решение методом интервалов дает x \in \left(-5-\sqrt{58};\sqrt{58} -5 \right) .
С учетом ОДЗ получаем x \in \left( -2;\sqrt{58} -5 \right) .
Ответ x \in \left( -2;\sqrt{58} -5 \right) .