Замена оснований логарифмов Часть 1: Часть 4
Математика, 10 класс
Задача 3.5. Условие Решите неравенство: \log_{\frac{2}{3}}\frac{x}{x+1}+\log_{\frac{1}{2}} \frac{x+1}{3x} \geqslant 2. Решение Введем замену: \frac{x}{x+1}=z,\ \ z>0. Тогда неравенство приобретает вид...
Видео
Конспект
Задача 3.5.
Условие
Решите неравенство: \log_{\frac{2}{3}}\frac{x}{x+1}+\log_{\frac{1}{2}} \frac{x+1}{3x} \geqslant 2. Решение
Введем замену: \frac{x}{x+1}=z,\ \ z>0. Тогда неравенство приобретает вид \log_{\frac{2}{3}}z + \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3z} \geqslant 2, \log_{\frac{2}{3}}z + \log_2 3z \geqslant 2. Перейдём к основанию 2 : \frac{\log_2z}{\log_2 \frac{2}{3}} + \log_2 3 + \log_2z \geqslant 2, \log_2z \left( \frac{1}{\log_2 \frac{2}{3}} + 1 \right) \geqslant 2-\log_2 3. Приводим к общему знаменателю: \log_2z \left( \frac{\log_2 \frac{2}{3}+1}{\log_2 \frac{2}{3}} \right) \geqslant \log_2 \frac{4}{3}, \log_2z \left( \frac{\log_2 \frac{4}{3}}{\log_2 \frac{2}{3}} \right) \geqslant \log_2 \frac{4}{3}, \frac{\log_2z}{\log_2 \frac{2}{3}} \geqslant 1. Учтем, что \log_2 \frac{2}{3}<0 : \log_2z \leqslant \log_2 \frac{2}{3}. Отсюда получаем 0<z\leqslant \frac{2}{3}. Обратная замена: \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{x}{x+1}>0,\\
\frac{x}{x+1} \leqslant \frac{2}{3}.
\end{array}\right. Решение первого неравенства системы - x \in \left( -\infty;-1 \right) \cup \left( 0;+\infty \right).
Рассмотрим второе неравенство системы: \frac{3x}{3\left( x+1 \right)} - \frac{2\left( x+1 \right)}{3\left( x+1 \right)}\leqslant 0, \frac{x-2}{3\left( x+1 \right)}\leqslant 0. Решение этого неравенства - x \in \left( -1;2 \right) .
Ответ x \in (0;2] .