Замена оснований логарифмов Часть 1: Часть 3
Математика, 10 класс
Использование замены аргумента логарифма при решении логарифмических неравенств Задача 3.4. Условие Решите неравенство: \log_{\frac{3}{4}}\frac{x}{x-1}+\log_{\frac{1}{3}} \frac{x-1}{4x}\geqslant 2. Ре...
Видео
Конспект
Использование замены аргумента логарифма при решении логарифмических неравенств
Задача 3.4.
Условие
Решите неравенство: \log_{\frac{3}{4}}\frac{x}{x-1}+\log_{\frac{1}{3}} \frac{x-1}{4x}\geqslant 2. Решение
ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{x}{x-1}>0,\\
\frac{x-1}{4x}>0.
\end{array}\right. Введем замену: \frac{x}{x-1}=z,\ \ z>0. Условие z>0 вытекает из ОДЗ.
Итак, после замены неравенство приобретает вид \log_{\frac{3}{4}}z+\log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{4z}\geqslant 2. Приведем все логарифмы к логарифму по основанию 3 : \frac{\log_3 z}{\log_3 \frac{3}{4}} + \log_3 4+\log_3z \geqslant 2. Мы получили линейное неравенство относительно \log_3z . Перегруппируем слагаемые: \log_3z\left( 1+\frac{1}{1-\log_3 4} \right) \geqslant 2-\log_3 4, \log_3z\left( \frac{2-\log_3 4}{1-\log_3 4} \right) \geqslant 2-\log_3 4. Сократим на 2-\log_3 4 . При этом знак неравенства не изменится, так как 2-\log_3 4= \log_3 \frac{9}{4}>0 : \log_3z \left( \frac{1}{1-\log_3 4} \right) \geqslant 1. Заметим, что 1-\log_3 4=\log_3 \frac{3}{4}<0 . Поэтому при умножении правой и левой частей неравенства на 1-\log_3 4 его знак меняется: \log_3z \leqslant 1-\log_3 4, \log_3z \leqslant \log_3 \frac{3}{4}. Потенцируем и производим обратную замену: 0<\frac{x}{x-1}\leqslant \frac{3}{4}. Из левого неравенства получаем x \in (-\infty;0)\cup (1;+\infty) .
Приведем неравенство \frac{x}{x-1}\leqslant \frac{3}{4} к виду \frac{4x}{4\left( x-1 \right)} - \frac{3\left( x-1 \right)}{4\left( x-1 \right)} \leqslant 0, \frac{x+3}{4\left( x-1 \right)}\leqslant 0. Решение методом интервалов дает \left[ -3;1 \right] .
Ответ x \in [-3;0) .