Замена оснований логарифмов Часть 1: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 3.2.

Условие

Решите неравенство: 2\log_5x-\log_x 125 < 1.

Решение

ОДЗ: x>0, x\neq 1 .

Приведем логарифмы к одному основанию, используя формулу перехода к новому основанию: 2\log_5x - \frac{\log_5 125}{\log_5x} < 1; приведем к общему знаменателю: \frac{2\log_5^2x-3-\log_5x}{\log_5x}<0. Введем замену: \log_5x=y. Тогда неравенство приобретает вид \frac{2y^2-y-3}{y}<0, \frac{\left( y+1 \right) \left( 2y-3 \right)}{y}<0. Решение методом интервалов дает: \left[

\begin{array}{lll}

y< -1,\\

0<y<\frac{3}{2}.

\end{array}\right. Произведем обратную замену: \left[

\begin{array}{lll}

\log_5 x< -1,\\

0<\log_5x<\frac{3}{2},

\end{array}\right. \left[

\begin{array}{lll}

0<x<5^{-1},\\

1<x<5^{\frac{3}{2}}.

\end{array}\right.

Ответ x \in \left( 0;\frac{1}{5} \right) \cup \left( 1;5 \sqrt{5} \right) .

Задача 3.3.

Условие

Решите неравенство: 2\log_3 x+ \log_{\sqrt{3}}x + \log_{\frac{1}{3}}x < 6. Решение

ОДЗ: x>0 .

Перейдем к основанию 3 во всех логарифмах: 2\log_3x+2\log_3x - \log_3x<6, 3\log_3x<6, \log_3x<2.

Ответ x \in (0;9) .