Понятие логарифма. Примеры построения графиков: Часть 1

Видео

Конспект

Логарифмические уравнения

Понятие логарифма

Вспомним, что понятие логарифма нам уже встречалось, когда мы решали показательные уравнения и неравенства. Так, если уравнение вида

a^x = b не имеет очевидного решения (числа a и b не связаны друг с другом), мы используем понятие логарифма. Логарифм - это тот показатель степени a , в который нужно возвести a , чтобы получить число b :

x = \log_ab. Отметим, что указанные равенства являются равносильными, если b>0 , a>0 , a\neq 1 .

График логарифмической функции

Начнем изучение свойств логарифма с анализа графика логарифмической функции. Понятно, что логарифм является обратной функцией к показательной. Значит, его график будет симметричен графику функции y=a^x относительно прямой y=x (рис. 1).

1 Графики функций y=a^x,a>1 и y=\log_ax

Из графика видно, что функция y=\log_a x возрастающая, если a>1 . Отметим также, что области определения прямой и обратной функции меняются местами. С другой стороны, область определения логарифма совпадает с областью значения показательной функции. Таким образом, область определения логарифмической функции - x>0 , а область ее значений - вся числовая прямая y .

Отметим, что в случае a<1 график показательной функции становится убывающим. Аналогично, с помощью симметричного отражения относительно y=x получаем график логарифмической функции (рис. 2).

2 Графики функций y=a^x,a<1 , y=\log_ax

Отметим также, что все показательные функции проходят через точку (0;1) . Значит, все логарифмы проходят через точку (1;0) :

\log_a 1 = 0. Свойства логарифмической функции

Основное логарифмическое тождество: \log_a a^x = x,\ \ если\ a>0,a\neq 1;

определение логарифма: a^{\log_ax}=x,\ \ если\ a>0,a\neq 1;

логарифм произведения: \log_a\left( x\cdot y \right) = \log_ax + \log_ay,\ \ если\ a>0,a\neq 1, x>0,y>0. Данную формулу также можно записать в виде \log_a \left( x\cdot y \right) = \log_a |x| + \log_a |y|,\ \ если\ a>0,a\neq 1, x\cdot y>0;