Понятие логарифма. Примеры построения графиков: Часть 3

Видео

Конспект

Примеры построения графиков логарифмических функций

Задача 1.1.

Условие

Построить график функции y = \log_2\left( x-2 \right) + 1.

Решение

Согласно уже известной нам схеме, построение графика заданной функции следует начать с графика функции \log_2x (рис. 3). График функции \log_2\left( x-2 \right) получаем из предыдущего графика в результате сдвига вдоль оси x на две единицы вправо. Отметим также, что у графика логарифма есть вертикальная асимптота (еще существование обосновано тем, что аргумент логарифмической функции не может быть равным нулю). Таким образом, у графика функции \log_2\left( x-2 \right) асимптотой является прямая x=2 . Далее, чтобы получить график функции \log_2\left( x-2 \right) + 1 , нужно поднять предыдущий график на единицу вверх.

3 Графики функций \log_2x , \log_2\left( x-2 \right) и \log_2\left( x-2 \right) + 1

Ответ см. рис. 3.

Задача 1.2.

Условие

Построить график функции y = \log_{\frac{3}{2}}|x|.

Решение

Отметим свойства данной функции: ее область определения имеет вид x\neq 0 и она является четной.

Для построения графика данной функции рассмотрим график функции g(x)=\log_{\frac{3}{2}}(x) (рис. 4). График функции y=\log_{\frac{3}{2}}|x| получается отражением графика g(x) относительно оси y .

4 Графики функций \log_{\frac{3}{2}}(x) и \log_{\frac{3}{2}}|x|

Ответ см. рис. 4.

Задача 1.3.

Условие

Построить график функции y = \log_x2

Решение

Отметим, что область определения данной функции имеет вид x>0,x\neq 1 .

Проанализируем данную функцию, используя формулу перехода к новому основанию: \log_x 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 x} = \frac{1}{\log_2x}. Начнем с построения графика функции \log_2x (рис. 5). Мы уже выяснили, что \log_x2 является обратной к \log_2x . Заметим, что при значениях x , близких к 1 значения функции \log_2x являются положительными и близкими к нулю. Значит, значения функции \log_x 2 в этой области изменения x будут стремиться к бесконечности. С другой стороны, при увеличении x значения \log_2 x неограниченно растут. Значит, при увеличении x значения функции \log_x 2 будут уменьшаться. Аналогично, при x , стремящихся к 1 слева значения функции \log_2 x отрицательны и близки к нулю. Значит, в этой области изменения x значения функции \log_x 2 отрицательны и стремятся к -\infty . С другой стороны, для x , достаточно близких к нулю, значения \log_2 x стремятся к -\infty . Значит, в этой области изменения x значения функции \log_x 2 отрицательны и стремятся к нулю.

5 Графики функций \log_2x и \log_x 2

Ответ см. рис. 5.