Важность ОДЗ: Часть 1

Видео

Конспект

Некоторые примеры задач, иллюстрирующие важность учета ОДЗ

Задача 1.25.

Условие

Решите уравнение: \log_{100} \left( \frac{x^2}{9} \right) + \log_{10} \left( x+13 \right) = 1.

Решение

ОДЗ: \left[

\begin{array}{lll}

x+13>0\ \ \Leftrightarrow\ \ x>-13,\\

\frac{x^2}{9}>0\ \ \Leftrightarrow\ \ x\neq 0,

\end{array}\right.

\ \ \Leftrightarrow\ \ x \in \left( -13;0 \right) \cup \left( 0;+\infty \right). Решим задачу двумя способами.

Способ 1. Преобразуем уравнение (используемые преобразования равносильны на ОДЗ): \log_{10} \left| \frac{x}{3} \right| + \log_{10}\left( x+13 \right) = \log_{10}10, \log_{10}\left| \frac{x}{3} \right| \left( x+13 \right) = \log_{10}10. Полученное уравнение эквивалентно \left| \frac{x}{3} \right| \left( x+13 \right) = 10. Рассмотрим случай x>0 : x \left( x+13 \right) = 30, x^2+13x-30=0, \left( x+15 \right) \left( x-2 \right) = 0. Таким образом, x=2 .

Теперь рассмотрим случай x<0 . Учтем ОДЗ: -13<x<0 . Тогда -x\left( x+13 \right) = 30, x^2+13x+30=0, \left( x+3 \right) \left( x+10 \right) = 0. Таким образом, x=-3,x=-10 .

Способ 2. Решим уравнение \log_{100}\left( \frac{x^2}{y} \right) + \log_{10}\left( x+13 \right) = 1, приведя второе слагаемое к основанию 100 .

Для этого воспользуемся формулой \log_a b= \log^{a^n}b^n . При этом должно выполняться условие a,b>0 на ОДЗ. В результате получаем равносильное (на ОДЗ) уравнение \log_{100}\left( \frac{x^2}{9} \right) + \log_{100}\left( x+13 \right) ^2 = 1. Воспользуемся формулой логарифма произведения (такой переход не меняет ОДЗ): \log_{100}\left( \frac{x^2}{9} \right)\left( x+13 \right) ^2 = \log_{100}100, \frac{x^2}{9}\left( x+13 \right)^2 = 100, x^2 \left( x+13 \right) ^2 - 900=0, \left( x\left( x+13 \right) -30 \right) \left( x\left( x+13 \right) +30 \right) = 0, \left( x^2+13x-30 \right) \left( x^2+13x+30 \right) =0, \left( x-2 \right) \left( x+15 \right) \left( x+3 \right) \left( x+10 \right) = 0.

Ответ x=2,x=-3,x=-10 .