Замена оснований логарифмов Часть 2: Часть 1
Математика, 10 класс
Примеры неравенств с логарифмами по иррациональным основаниям Задача 3.6. Условие Решите неравенство: \log_{2+\sqrt{3}}\left( x+3 \right) + 2\log_{7+4 \sqrt{3}}\left( 5-2x \right) +\log_{2-\sqrt{3}} \...
Видео
Конспект
Примеры неравенств с логарифмами по иррациональным основаниям
Задача 3.6.
Условие
Решите неравенство: \log_{2+\sqrt{3}}\left( x+3 \right) + 2\log_{7+4 \sqrt{3}}\left( 5-2x \right) +\log_{2-\sqrt{3}} \left( x^2-x-2 \right) \geqslant 0. Решение
Заметим, что \left( 2+\sqrt{3} \right) ^2 = 4+4\sqrt{3} +3=7+4\sqrt{3}, \left( 2+\sqrt{3} \right) \left( 2-\sqrt{3} \right) = 4-3=1. Отсюда, в частности, следует 2-\sqrt{3} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \left( 2+\sqrt{3} \right)^{-1}. Введем обозначение 2+\sqrt{3} = a;\ \ a>1. Тогда 7+4\sqrt{3} =a^2;\ \ 2-\sqrt{3} = a^{-1}. Теперь исходное неравенство можно записать в виде \log_a \left( x+3 \right) + 2 \log_{a^2}\left( 5-2x \right) + \log_{a^{-1}}\left( x^2-x-2 \right) \geqslant 0. ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
x+3>0,\\
5-2x>0,\\
x^2-x-2>0,
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow\ \
\left\{
\begin{array}{lll}
x>-3,\\
x<\frac{5}{2},\\
\left( x-2 \right) \left( x+1 \right) > 0,
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow\ \
x \in \left( -3;-1 \right) \cup \left( 2;\frac{5}{2} \right). Вынесем степени из оснований логарифмов: \log_a \left( x+3 \right) + \log_a \left( 5-2x \right) - \log_a \left( x^2-x-2 \right) \geqslant 0. Воспользуемся формулами для логарифма произведения \backslash частного: \log_a \frac{\left( x+3 \right) \left( 5-2x \right)}{x^2-x-2}\geqslant 0. Так как a>1 , имеет место следующее эквивалентное неравенство \frac{\left( x+3 \right) \left( 5-2x \right) }{x^2-x-2}\geqslant 1. Преобразуем это неравенство: \frac{-2x^2+5x-6x+15}{x^2-x-2} - \frac{x^2-x-2}{x^2-x-2}\geqslant 0, \frac{-3x^2+17}{\left( x-2 \right) \left( x+1 \right)} \geqslant 0, - \frac{\left( x\sqrt{3} -\sqrt{17} \right) \left( x\sqrt{3} + \sqrt{17} \right)}{\left( x-2 \right) \left( x+1 \right) } \geqslant 0. Решение методом интервалов (с учетом ОДЗ) дает x \in \left[ -\sqrt{\frac{17}{3}} ;-1 \right)\cup \left( 2; \sqrt{\frac{17}{3}} \right] .
Ответ x \in \left[ -\sqrt{\frac{17}{3}} ;-1 \right)\cup \left( 2; \sqrt{\frac{17}{3}} \right] .