Замена оснований логарифмов Часть 2: Часть 2
Математика, 10 класс
Задача 3.7. Условие Решите неравенство: \log_{1+\sqrt{2}}\left( x+4 \right) + 2\log_{3+2\sqrt{2}}\left( 7-2x \right) + \log_{\sqrt{2}-1}\left( x^2-x-6 \right) \leqslant 0. Решение ОДЗ: \left\{ \begin{...
Видео
Конспект
Задача 3.7.
Условие
Решите неравенство: \log_{1+\sqrt{2}}\left( x+4 \right) + 2\log_{3+2\sqrt{2}}\left( 7-2x \right) + \log_{\sqrt{2}-1}\left( x^2-x-6 \right) \leqslant 0. Решение
ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
x+4>0,\\
7-2x>0,\\
x^2-x-6>0,
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow\ \ x \in \left( -4;-2 \right) \cup \left( 3;\frac{7}{2} \right). Заметим, что \left( 1+\sqrt{2} \right) ^2 = \left( 1+2\sqrt{2} +2 \right) = \left( 3+2\sqrt{2} \right), \left( \sqrt{2} +1 \right) \left( \sqrt{2} -1 \right) = 1. Значит, \sqrt{2} -1 = \frac{1}{1+\sqrt{2}}. Таким образом, все логарифмы в исходном неравенстве можно привести к одному основанию \log_{1+\sqrt{2}}\left( x+4 \right) + \frac{2}{2}\log_{1+\sqrt{2}}\left( 7-2x \right) - \log_{1+\sqrt{2}}\left( x-3 \right) \left( x+2 \right) \leqslant 0. Воспользуемся формулами для логарифма произведения \backslash разности: \left\{
\begin{array}{lll}
\log_{1+\sqrt{2}} \frac{\left( x+4 \right) \left( 7-2x \right)}{\left( x-3 \right) \left( x+2 \right)}\leqslant 0,\\
\left[
\begin{array}{lll}
-4<x< -2,\\
3<x<\frac{7}{2}.
\end{array}\right.
\end{array}\right. Здесь мы в явном виде добавляем условия на x , так как в противном случае переход не будет равносильным.
Решим полученное логарифмическое неравенство: \frac{\left( x+4 \right) \left( 7-2x \right) }{\left( x-3 \right) \left( x+2 \right) }\leqslant 1, \frac{7x+28-2x^2-8x}{\left( x-3 \right) \left( x+2 \right) }- \frac{x^2-x-6}{\left( x-3 \right) \left( x+2 \right) } \leqslant 0, \frac{-3x^2+34}{\left( x-3 \right) \left( x+2 \right)} \leqslant 0, -3 \frac{\left( x- \sqrt{\frac{34}{3}} \right) \left( x+\sqrt{\frac{34}{3}} \right)}{\left( x-7 \right) \left( x+2 \right)} \leqslant 0. Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого заметим, что 3<\sqrt{\frac{34}{3}} <4 . В результате получаем x \in \left( -\infty; -\sqrt{\frac{34}{3}} \right] \cup \left( -2;-3 \right) \cup \left[ \sqrt{\frac{34}{3}};+\infty \right) . После учета ОДЗ получаем x \in \left( -4;-\sqrt{\frac{34}{3}} \right] \cup \left[ \sqrt{\frac{34}{3}} ;\frac{7}{2} \right) .
Ответ x \in \left( -4;-\sqrt{\frac{34}{3}} \right] \cup \left[ \sqrt{\frac{34}{3}} ;\frac{7}{2} \right) .