Метод логарифмирования: Часть 1
Математика, 10 класс
Метод логарифмирования Примеры решения задач методом логарифмирования Задача 4.1. Условие Решите уравнение: x^{\lg^3x-5\lg x} = 0.0001. Решение ОДЗ: x>0 . Возьмем десятичный логарифм от левой и правой...
Видео
Конспект
Метод логарифмирования
Примеры решения задач методом логарифмирования
Задача 4.1.
Условие
Решите уравнение: x^{\lg^3x-5\lg x} = 0.0001.
Решение
ОДЗ: x>0 .
Возьмем десятичный логарифм от левой и правой части равенства: \lg\left(x^{\lg^3x-5\lg x} \right) = \lg \left( 0.0001 \right). Вынесем степень аргумента за знак логарифма: \left( \lg^3x-5\lg x \right) \cdot \lg x = \lg \left( 10^{-4} \right), \lg^4 x - 5\lg^2 x= -4. Введем замену \lg^2 x = z;\ \ z\geqslant 0. Тогда уравнение приобретает вид z^2 - 5z+4=0, \left( z-4 \right) \left( z-1 \right) = 0. Обратная замена: \left[
\begin{array}{lll}
\lg^2x=4,\\
\lg^2x=1,
\end{array}\right. \left[
\begin{array}{lll}
\lg x = 2,\\
\lg x = -2,\\
\lg x = 1,\\
\lg x = -1.
\end{array}\right.
Ответ x=10,\ x=\frac{1}{10},\ x=100,\ x=\frac{1}{100} .
Задача 4.2.
Условие
Решите уравнение: x^{\log_4x-2}=2^{3 \left( \log_4x-1 \right)}.
Решение
ОДЗ: x>0 .
Возьмем логарифм по основанию 4 от левой и правой частей равенства: \log_4 \left( x^{\left( \log_4x-2 \right)} \right) = \log_4 \left( 2^{3\left( \log_4x-1 \right) } \right). Это, в свою очередь, равносильно \left( \log_4x-2 \right) \cdot \log_4x = 3\left( \log_4x-1 \right) \log_4 2. Введем замену y = \log_4x. Тогда уравнение приобретает вид y^2-2y = \left( 3y-3 \right) \frac{1}{2}, 2y^2-4y-3y+3=0, 2y^2-7y+3=0, \left( y-3 \right) \left( 2y-1 \right) = 0. Обратная замена: \left[
\begin{array}{lll}
\log_4x=3,\\
\log_4x=\frac{1}{2}.
\end{array}\right.
Ответ x=64,\ x=2 .