Метод логарифмирования: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 4.3.

Условие

Решите уравнение: 2^x \cdot 5^{\frac{x+2}{x}}=100.

Решение

ОДЗ: x\neq 0 .

Возьмем логарифм по основанию 2 от левой и правой частей равенства: \log_2 \left( 2^x \cdot 5^{\frac{x+2}{x}} \right) = \log_2 100. Воспользуемся формулой логарифма произведения: \log_2 2^x + \log_2 5^\frac{x+2}{x} = \log_2 4 + \log_2 25. Вынесем степени аргументов из-под знака логарифма: x + \frac{x+2}{x} \cdot \log_2 5 = 2+2\log_2 5. Преобразуем уравнение к общему знаменателю: \frac{x^2+x\log_2 5 + 2\log_2 5 - 2x -2x\log_2 5}{x} = 0, \frac{x^2-x \left( \log_2 5 +2 \right) + 2 \log_2 5}{x} = 0.

\frac{\left( x-2 \right) \left( x-\log_2 5 \right) }{x}= 0 Ответ: \left[

\begin{array}{lll}

x=2,\\

x=\log_2 5.

\end{array}\right. Проверим, что полученные значения действительно удовлетворяют исходному равенству. Для x=2 проверка тривиальна. Для x=\log_2 5 левая часть равенства имеет вид: 5 \cdot 5^\frac{\log_2 5+2}{\log_2 5} = 5^\frac{\log_5 2 \cdot \log_2 5 + 2\log_5 2}{\log_5 2 \cdot \log_2 5} = 100. Замечание. Данную задачу можно решить другим способом - прологарифмировав уравнение по основанию 5 : \log_5 \left( 2^x \cdot 5^{\frac{x+2}{x}} \right) = \log_5 100. Воспользуемся формулой для логарифма произведения: \log_5 2^x + \log_5 5 \frac{x+2}{x} = \log_5 4 + \log_5 25. Вынесем степени из аргументов: x \log_5 2 + \frac{x+2}{x} - 2 \log_5 x - 2 = 0. Приведем к общему знаменателю: \frac{x^2 \log_5 2 + x+2-2x\log_5 2 - 2x}{x} = 0, \frac{x^2 \log_5 2 - x \left( 2\log_5 2+1 \right) +2}{x}=0. Решение данного квадратного уравнения имеет вид x = \frac{2\log_5 2 + 1 \pm \sqrt{4 \log_5^22 + 4\log_52 + 1 - 8\log_5 2}}{2\log_5 2}, \left[

\begin{array}{lll}

x = \frac{2\log_5 2 + 1 + 2 \log_5 2-1}{2\log_5 2},\\

\\

x = \frac{2\log_5 2+1-2\log_5 2+1}{2\log_52}.

\end{array}\right.

Ответ x=2 , x=\frac{1}{\log_5 2} .