Логарифм как новая переменная: Часть 1

Видео

Конспект

Логарифм как новая переменная

Некоторые примеры логарифмических неравенств с большими степенями логарифмов

Задача 2.1.

Условие

Решите неравенство: \log_2^4x-\log_{0.5}^2 \left( \frac{x^3}{8} \right) + 9\log_2 \frac{32}{x^2}<4\log_{0.5}^2x. Решение

ОДЗ: x>0 .

Отметим, что степени самого логарифма и степени аргумента логарифма ведут себя принципиально по-разному. Например, второе слагаемое в левой части неравенства можно преобразовать следующим образом \begin{aligned}

\left( \log_{0.5}\left( \frac{x^3}{8} \right) \right)^2 = \left( -1 \cdot \log_2 \frac{x^3}{8} \right) ^2 = \left( \log_2 x^3 - \log_2 8 \right) ^2 = \nonumber\\

=\left( 3\log_2x^3-3 \right)^2 = 9\log_2^2x - 18\log_2x+9.

\end{aligned} Итак, исходное неравенство можно представить в виде \log_2^4x-9\log_2^2x+18\log_2x-9+9\log_2 32 - 9\log_2x^2<4\left( -1\log_2x \right) ^2, \log_2^4x-9\log_2^2x-9+ 45 - 18\log_2x<4\left( \log_2x \right) ^2. Введем замену y=\log_2x. Тогда неравенство приобретает вид y^4-9y^2+36<4y^2, y^4-13y^2+36<0, \left( y^2-4 \right) \left( y^2-9 \right) < 0, \left( y-2 \right) \left( y+2 \right) \left( y-3 \right) \left( y+3 \right) < 0. Решение методом интервалов дает \left[

\begin{array}{lll}

-3<y< -2,\\

2<y<3.

\end{array}\right. Обратная замена: \left[

\begin{array}{lll}

-3<\log_2x< -2,\\

2<\log_2x<3.

\end{array}\right. Потенцируем полученные неравенства, учитывая, что \log_2z - возрастающая функция: \left[

\begin{array}{lll}

2^{-3}<x<2^{-2},\\

2^2<x<2^3.

\end{array}\right.

Ответ x \in \left( \frac{1}{8};\frac{1}{4} \right) \cup \left( 4;8 \right) .