Логарифм как новая переменная: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 2.2.

Условие

Решите неравенство: \frac{\log_2x-3}{6\log_x 2-1}\leqslant 2. Решение

ОДЗ: \left\{

\begin{array}{lll}

x>0,\\

x\neq 1,\\

6\log_x 2-1\neq 0.

\end{array}\right. Перейдем к одному основанию для всех логарифмов с помощью формулы перехода к новому основанию: \frac{\log_2x-3}{6 \frac{\log_2 2}{\log_2x}-1}\leqslant 2, \left\{

\begin{array}{lll}

{\frac{\left( \log_2x-3 \right) \log_2 x}{6-\log_2x}\leqslant 2},\\

\log_2x\neq 0.

\end{array}\right. Введем замену \log_2x=y;\ \ y\neq 0. Тогда неравенство приобретает вид \frac{\left( y-3 \right) y}{6-y}\leqslant 2, \frac{y^2-3y}{6-y}-2 \frac{6-y}{6-y}\leqslant 0, \frac{y^2-3y-12+2y}{6-y}\leqslant 0, \frac{y^2-y-12}{6-y}\leqslant 0, \frac{\left( y-4 \right) \left( y+3 \right)}{6-y}\leqslant 0. Решение методом интервалов (с учетом условия y\neq 0 ) дает \left[

\begin{array}{lll}

-3\leqslant y <0,\\

0<y\leqslant 4,\\

y>6.

\end{array}\right. Произведём обратную замену: \left[

\begin{array}{lll}

-3\leqslant \log_2x<0,\\

0<\log_2x\leqslant 4,\\

\log_2x>6.

\end{array}\right. Решим полученные логарифмические неравенства: \left[

\begin{array}{lll}

\frac{1}{8}\leqslant x<1,\\

1<x\leqslant 16,\\

x>64.

\end{array}\right.

Ответ x \in \left[ \frac{1}{8};1 \right) \cup \left( 1;16 \right]\cup \left( 64;+\infty \right) .