Переменные основания. Произведения логарифмов: Часть 1
Математика, 10 класс
Задача 5.8. \log_{x^2-4x+4}\left( 4x+5 \right) \leqslant \log_{x^2-4x+4}x^2. Решение. ОДЗ: \left\{ \begin{array}{lll} 4x+5>0,\\ x^2>0,\\ x^2-4x+4>0,\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ x\neq 2,\\ x^2-4x+4\n...
Видео
Конспект
Задача 5.8. \log_{x^2-4x+4}\left( 4x+5 \right) \leqslant \log_{x^2-4x+4}x^2. Решение. ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
4x+5>0,\\
x^2>0,\\
x^2-4x+4>0,\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ x\neq 2,\\
x^2-4x+4\neq 1.
\end{array}\right. Преобразуем неравенство: \log_{x^2-4x+4}x^2-\log_{x^2-4x+4}\left( 4x+5 \right) \geqslant 0. Применим формулу рационализации: \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{x^2-4x-5}{x^2-4x+4-1}\geqslant 0,\\
x> -\frac{5}{4},\\
x\neq 0,\\
x\neq 2,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{\left( x+1 \right) \left( x-5 \right) }{\left( x-1 \right) \left( x-3 \right)} \geqslant 0,\\
x> -\frac{5}{4},\\
x\neq 0;2.
\end{array}\right. Воспользуемся методом интервалов (рис. 11).
11 Рисунок 11.
Ответ: \left( -\frac{5}{4};1 \right] \cup \left( 1;2 \right) \cup \left( 2;3 \right) \cup \left[ 5;+\infty \right)
Задача 5.9. \log_{x^2-6x+9}\left( x^2-2x \right) \geqslant \log_{x^2-6x+9}\left( x+28 \right). Решение. ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
x^2-2x>0,\\
x+28>0,\\
x^2-6x+9>0,\\
x^2-6x+9\neq 1.
\end{array}\right. Преобразуем неравенство: \log_{\left( x-3 \right) ^2} \left( x^2-2x \right) \geqslant \log_{\left( x-3 \right)^2}\left( x+28 \right), \frac{1}{2}\log_{\left| x-3 \right|} \left( x^2-2x \right) - \frac{1}{2} \log_{\left| x-3 \right|}\left( x+28 \right) \geqslant 0, \log_{\left| x-3 \right|} \left( x^2-2x \right) - \log_{\left| x-3 \right|}\left( x+28 \right) \geqslant 0. Применим формулу рационализации: \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{x^2-2x-x-28}{\left| x-3 \right| -1} \geqslant 0,\\
x^2-2x>0,\ \ x+28>0,\\
x\neq 3,\ \ \left| x-3 \right| \neq 1,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{\left( \left| x-3 \right| +1 \right) \left( x^2-3x-28 \right) }{\left( x-3+1 \right) \left( x-3-1 \right)} \geqslant 0,\\
x \in \left( -28;0 \right) \cup \left( 2;3 \right) \cup \left( 3;4 \right) \cup \left( 4;+\infty \right).
\end{array}\right. Решим неравенство \frac{\left( x-7 \right) \left( x+4 \right) }{\left( x-2 \right) \left( x-4 \right) }\geqslant 0 с помощью метода интервалов (рис. 12) и учтём ОДЗ.
12 Рисунок 12.
Ответ: \left( -28;-4 \right] \cup \left( 2;3 \right) \cup \left( 3;4 \right) \cup \left[ 7;+\infty \right)