Переменные основания. Произведения логарифмов: Часть 3

Видео

Конспект

Метод рационализации для решения неравенств, содержащих произведения логарифмов с переменными основаниями

Задача 5.11. \log_{2-x}\left( x+2 \right)\cdot \log_{x+3}\left( 3-x \right) \leqslant 0. Решение. Ранее формула рационализации использовалась в случае разности логарифмов. В данной задаче мы сталкиваемся с произведением логарифмов. Приведем неравенство к следующему виду \left( \log_{2-x}\left( x+2 \right) -0 \right) \left( \log_{x+3}\left( 3-x \right) -0 \right) \leqslant 0, \left( \log_{2-x}\left( x-2 \right) -\log_{2-x}1 \right) \left( \log_{x+3}\left( 3-x \right) -\log_{x+3}1 \right) \leqslant 0. Отметим, что данное преобразование не меняет ОДЗ.

Теперь мы можем применить формулу рационализации: \left\{

\begin{array}{lll}

\frac{x+2-1}{2-x-1}\cdot \frac{3-x-1}{x+3-1}\leqslant 0,\\

2-x>0,\\

x+2>0,\\

x+3>0,\\

3-x>0.

\end{array}\right. Преобразуем неравенство: \left\{

\begin{array}{lll}

\frac{x+1}{1-x}\cdot \frac{2-x}{x+2} \leqslant 0,\\

x<2;\ \ x>-2,\\

x>-3;\ \ x<3,

\end{array}\right. \left\{

\begin{array}{lll}

\frac{\left( x+1 \right) \left( x-2 \right) }{\left( x-1 \right) \left( x+2 \right) }\leqslant 0,\\

-2 < x<2.

\end{array}\right. Воспользуемся методом интервалов (рис. 14).

14 Рисунок 14.

Ответ: \left( -2;-1 \right] \cup \left( 1;2 \right)

Замечание. Метод рационализации в общем виде: \log_{g(x)}f(x) \geqslant 0 \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{

\begin{array}{lll}

\frac{f(x)-1}{g(x)-1} \geqslant 0,\\

ОДЗ.

\end{array}\right.

Задача 5.12. \log_{x^2+4x+4}\left( x+7 \right) \cdot \log_{x+5}\left( x^2-8x+16 \right) \geqslant 0. Решение. Преобразуем неравенство: \left( \log_{x^2+4x+4}\left( x+7 \right) - \log_{x^2+4x+4}1 \right) \left( \log_{x+5}\left( x^2-8x+16 \right) - \log_{x+5}1 \right) \geqslant 0 и применим формулу рационализации: \left\{

\begin{array}{lll}

\frac{x+7-1}{x^2+4x+4-1} \cdot \frac{x^2-8x+16-1}{x+5-1} \geqslant 0,\\

x+7>0;\ \ x+5>0,\\

x\neq 2;\ \ x\neq 4,

\end{array}\right. \left\{

\begin{array}{lll}

\frac{x+6}{\left( x+2-1 \right) \left( x+2+1 \right)} \frac{\left( x-4-1 \right) \left( x-4+1 \right)}{x+4} \geqslant 0,\\

x>-5;\ \ x\neq 2;\ \ x\neq 4,

\end{array}\right. \left\{

\begin{array}{lll}

\frac{\left( x+6 \right) \left( x-5 \right) \left( x-3 \right) }{\left( x+1 \right) \left( x+3 \right) \left( x+4 \right)} \geqslant 0,\\

x> -5;\ \ x\neq -2;\ \ x\neq 4.

\end{array}\right. Воспользуемся методом интервалов (рис. 15).

15 Рисунок 15

Ответ: \left( -4;-3 \right) \cup \left( -1;3 \right] \cup \left[ 5;+\infty \right)