Логарифмические уравнения с переменным основанием: Часть 1
Математика, 10 класс
Логарифмические уравнения с переменным основанием Задача 2.1. Условие Решите уравнение: \log_7x = 5-\log_{\sqrt[3]{x}}49. Решение Очевидно, что в данном случае основания логарифмов в уравнении никак н...
Видео
Конспект
Логарифмические уравнения с переменным основанием
Задача 2.1.
Условие
Решите уравнение: \log_7x = 5-\log_{\sqrt[3]{x}}49.
Решение
Очевидно, что в данном случае основания логарифмов в уравнении никак не связаны между собой. Это основное отличие от задач, которые мы рассматривали ранее.
ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
x>0,\\
\sqrt[3]{x} >0,\\
\sqrt[3]{x} \neq 1.
\end{array}\right. Ее можно переписать в виде \left\{
\begin{array}{lll}
x>0,\\
x\neq 1.
\end{array}\right. Вернемся к исходному уравнению. Преобразуем его, используя формулу перехода к новому основанию (данный переход не меняет ОДЗ): \log_7x=5 - \frac{\log_7 49}{\log_7 \sqrt[3]{x}}. Перепишем полученное уравнение в виде \log_7 x = 5 - \frac{2}{\frac{1}{3}\log_7 x}, приведем к общему знаменателю (на ОДЗ \log_7 \sqrt[3]{x} \neq 0 ): \log_7^2 x = 5 \log_7x-6, \log_7^2x - 5\log_7x+6=0, \left( \log_7x-2 \right) \left( \log_7x-3 \right) = 0. Отсюда получаем \left[
\begin{array}{lll}
\log_7x=2,\\
\log_7x=3,
\end{array}\right. \left[
\begin{array}{lll}
x = 7^2 = 49,\\
x=7^3 = 343.
\end{array}\right.
Ответ x = 49 , 343 .
Задача 2.2.
Условие
Решите уравнение: \log_5 \sqrt{3x+4} \cdot \log_x5 = 1
Решение
ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
3x+4\geqslant 0,\\
\sqrt{3x+4} >0,\\
x>0,\\
x\neq 1,
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow\ \
\left\{
\begin{array}{lll}
x>0,\\
x\neq 1.
\end{array}\right. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию и преобразуем исходное уравнение: \log_5 \sqrt{3x+4} \cdot \frac{1}{\log_5x}=1, \log_5 \sqrt{3x+4} = \log_5x, \sqrt{3x+4} =x. Полученное уравнение возведем в квадрат: 3x+4=x^2, x^2-3x-4=0, \left( x+1 \right) \left( x-4 \right) =0. ОДЗ соответствует корень x=4 .
Ответ x=4 .
Задача 2.3.
Условие
Решите уравнение: \log_{\sqrt{x}}2 + 4\log_4 x^2 + 9 = 0.
Решение
ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
\sqrt{x} > 0,\\
\sqrt{x} \neq 1,\\
x\geqslant 0,\\
x^2 > 0,
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow\ \
\left\{
\begin{array}{lll}
x>0,\\
x\neq 1.
\end{array}\right. Преобразуем первое слагаемое в левой части с помощью формулы перехода к новому основанию. Во втором слагаемом вынесем степень аргумента за знак логарифма: \frac{1}{\log_2 \sqrt{x}} + 4\log_2 |x| +9=0. На ОДЗ это уравнение равносильно \frac{2}{\log_2 x} + 4 \log_2x+9=0. Введем замену z=\log_2 x. Тогда \frac{2}{z}+4z+9=0, \frac{4z^2+9z+2}{z}=0, \left\{
\begin{array}{lll}
4z^2+9z+2=0,\\
z\neq 0,
\end{array}\right. \left( 4z+1 \right) \left( z+2 \right) = 0. Обратная замена: \left[
\begin{array}{lll}
\log_2 x = -2,\\
\log_2 x = -\frac{1}{4},
\end{array}\right. \left[
\begin{array}{lll}
x=\frac{1}{4},\\
x = 2^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}.
\end{array}\right.
Ответ x=\frac{1}{4}, \frac{1}{\sqrt[4]{2}}.